3 Загальна характеристика математичних методів аналізу



Pdf просмотр
Сторінка2/3
Дата конвертації02.04.2017
Розмір0.51 Mb.
1   2   3
3.3 Методи аналізу кількісного впливу факторів на зміну результуючого
показника
Метод диференційного числення.
Теоретичною основою для кількісної оцінки ролі окремих факторів у динаміці результуючого показника є диференціювання.
Припускається, що загальний приріст функції (результуючого показника) розподіляється на доданки, де значення кожного з них визначається як добуток відповідної частинної похідної на приріст змінної, по якій обчислюється дана похідна. Розглянемо задачу знаходження впливу факторів на зміну результуючого показника на прикладі функцій двох змінних. Нехай задана функція
z = f(x, y); тоді, якщо функція є диференційованою, то її приріст можна виразити як
(
)
2 2
0
y
x
y
y
z
x
x
z
z

+

+



+



=

, де
z = (z
1
z
0
) – зміна функції;
х = (х
1
х
0
) – зміна першого фактора;
y = (y
1
y
0
) – зміна другого фактора;
(
)
2 2
0
y
x

+

– нескінченно мала величина більш високого порядку, ніж
2 2
y
x

+

Вплив факторів x та y на зміну z визначається в цьому випадку як
x
x
z
z
x



=

та
y
y
z
z
y



=

, а їх сума є лінійною відносно приросту фактора частиною приросту функції. Зазначимо, що доданок о
2 2
y
x

+

є малим при малих змінах факторів, і його значення можуть суттєво відрізнятися від нуля при великих змінах факторів. Оскільки цей метод дає однозначний розклад впливу факторів на зміну результуючого показника, то цей розклад може призвести до значних похибок в оцінці впливу факторів, оскільки в ньому не враховується величина залишкового члена, тобто
(
)
2 2
0
y
x

+

Розглянемо використання методу на прикладі функції:
z = x
y. Нехай відомі початкові і кінцеві значення факторів і результуючого показника (
х
0
,
y
0
,
z
0
,
х
1
,
y
1
,
z
1
) Тоді вплив факторів на зміну результуючого показника визначається формулами:
x
z

=
y
0
х
,
y
z

=
х
0
y
Покажемо, що залишковий член в лінійному розкладі функції
z = x

y дорівнює
хy. Дійсно, загальна зміна функції склала
х
1
y
1

х
0
y
0
, а різниця між загальною зміною
y
x
z
z

+

і
z обчислюється за формулою

23
z
y
x
z
z



= (
х
1
y
1

х
0
y
0
) –
y
0
хх
0
y = (х
1
y
1

х
0
y
0
) –
y
0
(
х
1

х
0
) –
х
0
(
y
1

y
0
) =
= (
х
1
y
1

х
1
y
0
) – (
х
0
y
1

х
0
y
0
) =
х
1
(
y
1

y
0
) –
х
0
(
y
1

y
0
) = (
y
1

y
0
)(
х
1

х
0
) =
хy.
Таким чином, в методі диференційного числення так званий нерозкладний залишок, який
інтерпретується як помилка метода диференціювання, просто відкидається. В цьому полягає
”незручність” диференціювання для економічних розрахунків, в яких, як правило, потрібен точний баланс зміни результуючого показника і алгебраїчної суми впливу всіх факторів.
Індексний метод визначення впливу факторів на узагальнюючий показник.
В статистиці, плануванні і аналізі господарчої діяльності основою для кількісної оцінки ролі окремих факторів в динаміці узагальнюючих показників є індексні методи.
Зокрема, при виченні залежності об’єму випуску продукції на підприємстві від зміни чисельності працівників і продуктивності їх праці, можна використовувати таку систему взаємопов’язаних індексів:


=
0 0
1 1
R
D
R
D
I
N
,
(1)
1 0
1 1
0 0
1 0
R
D
R
D
R
D
R
D
I
N





=
, (2)
D
N
N
I
I
I

=
(3) де
І
N
– загальний індекс зміни об’єму випуску продукції;
І
R
– індивідуальний (факторний)
індекс зміни чисельності працівників;
І
D
– факторний індекс зміни продуктивності праці ;
D
0
,
D
1
– середньорічна величина виробництва товарної (валової) продукції на одного працівника в базисному і звітному періодах відповідно;
R
0
,
R
1
– середньорічна чисельність промислово-виробничого персоналу відповідно в базисному і звітному періодах.
Наведені формули показують, що загальна відносна зміна об’єму випуску продукції утворюється як добуток відносних змін двох факторів: чисельності працівників і продуктивності їх праці. Формули відображають прийняту в статистиці практику побудови факторних індексів, зміст як можна сформулювати таким чином.
Якщо узагальнюючий економічний показник є добутком кількісного і якісного показників- факторів, то при визначенні впливу кількісного фактора якісний показник фіксується на базисному рівні, а при визначені впливу якісного фактора кількісний показник фіксується на рівні звітного періоду.
Метод ланцюгових підстановок.
Цей метод полягає в отриманні низки проміжних значень узагальнюючого показника шляхом послідовної заміни базисних значень факторів на фактичні.
Різниця двох проміжних значень узагальнюючого показника в ланцюгу підстановок дорівнює зміні узагальнюючого показника, що викликана зміною відповідного фактора.
У загальному вигляді маємо таку систему обчислень за методом ланцюгових підстановок:
y
0
=
f(a
0
,
b
0
,
c
0
,
d
0
, …) – базисне значення узагальнюючого показника;
y
a
=
f(a
1
,
b
0
,
c
0
,
d
0
, …) – перше проміжне значення;
y
b
=
f(a
1
,
b
1
,
c
0
,
d
0
, …) – друге проміжне значення;
y
c
=
f(a
1
,
b
1
,
c
1
,
d
0
, …) – третє проміжне значення;
……………………………………………….
y
1
=
f(a
1
,
b
1
,
c
1
,
d
1
, …) – фактичне значення.
Загальне абсолютне відхилення узагальнюючого показника визначається за формулою
y = y
1

y
0
=
f(a
1
,
b
1
,
c
1
,
d
1
, …) –
f(a
0
,
b
0
,
c
0
,
d
0
, …).
Загальне абсолютне відхилення узагальнюючого показника розкладається на фактори: за рахунок зміни фактора
a


y
a
=
y
a

y
0
=
f(a
1
,
b
0
,
c
0
,
d
0
, …) –
f(a
0
,
b
0
,
c
0
,
d
0
, …),
за рахунок зміни фактора
b


y
b
=
y
b

y
a
=
f(a
1
,
b
1
,
c
0
,
d
0
, …) –
f(a
1
,
b
0
,
c
0
,
d
0
, …),
і так далі.
Метод ланцюгових підстановок, має недоліки, про які слід знати при його застосуванні. По- перше, результати обчислень залежать від послідовності заміни факторів; по-друге, активна роль в зміні узагальнюючого показника необґрунтовано часто приписується якісному фактору.

24
Наприклад, якщо показник
z, має вигляд z = f(x, y) = x
y, то його зміна за період ∆t = t
1

t
0
виражається формулою
z = х
0
y + y
0
х + ∆х⋅∆y, де
z – приріст узагальнюючого показника; ∆х, ∆y – прирости факторів; х
0
,
y
0
– базисне значення факторів;
t
0
,
t
1
– відповідно базисний і звітний період часу.
Групуючи в цій формулі останній доданок з одним із перших, одержуємо два різних варіанти ланцюгових підстановок.
Перший варіант:
z = (х
0
+
х)∆y + y
0
х = х
1
y + y
0
х.
Другий варіант:
z = х
0
y + (y
0
+
y)∆х = х
0
y + y
1
х.
На практиці звичайно використовується перший варіант за умови, що
х – кількісний фактор, а
у – якісний.
У цій формулі обчислюється вплив якісного фактора на зміну узагальненого показника, тобто, вираз (
х
0
+
х)∆y є більш активним, оскільки його величина встановлюється добутком приросту якісного фактора на фактичне значення кількісного фактора. Тим самим приріст узагальнюючого показника за рахунок спільної зміни факторів приписується впливу тільки якісного фактора.
Отже задача точного визначення ролі кожного фактора в зміні узагальнюючого показника методом ланцюгових підстановок не розв’язується.
В зв’язку з цим особливу актуальність набуває пошук шляхів вдосконалення точного однозначного визначення ролі окремих факторів в умовах випровадження в економічному аналізі складних економіко-математичних моделей факторних систем.
Метод простого додавання нерозкладного залишку.
Не знаходячи достатньо повного обґрунтування, що робити з залишком, в практиці економічного аналізу стали використовувати прийом додавання нерозкладного залишку до якісного або кількісного (загального або похідного) фактора, а також ділити цей залишок між двома факторами порівну.
Перший варіант додавання нерозкладного залишку:

х
z = y
0
х + ∆х⋅∆y = (y
0
+
y)∆х = y
1
х;

y
z = х
0
y.
Другий варіант додавання нерозкладного залишку:

х
z = y
0
х; ∆
y
z = х
0
y + ∆х⋅∆y = (х
0
+
х)∆y = х
1
y.
Третій варіант додавання нерозкладного залишку:

х
z = y
0
х +
2
y
x



;

y
z = х
0
y +
2
y
x



Метод зважених кінцевих різниць.
Цей метод полягає в тому, що величина впливу кожного фактора визначається як за першим, так і за другим порядком підстановки, потім результат підсумовується і від отриманої суми береться середня величина, яка дає єдину відповідь про значення впливу фактора. Якщо в розрахунках приймає участь більша кількість факторів, то їх значення обчислюються по всім можливим варіантам підстановок.
Опишемо цей метод математично, використовуючи позначення, які прийняті вище.
x
z

∆ = х
1
y
1

х
0
y
1
=
y
1
(
x
1

x
0
),
x
z
′′
∆ = х
1
y
0

х
0
y
0
=
y
0
(
x
1

x
0
),
2
x
x
x
z
z
z
′′

+


=

;
y
z

∆ = х
1
y
1

х
1
y
0
=
x
1
(
y
1

y
0
),
y
z
′′
∆ = х
0
y
1

х
0
y
0
=
x
0
(
y
1

y
0
),
2
y
y
y
z
z
z
′′

+


=

Отже метод зважених кінцевих різниць враховує всі варіанти підстановок. Одночасно при усередненні не можна отримати однозначне кількісне значення окремих факторів. Цей метод є вельми трудомістким, оскільки доводиться перебирати всі можливі варіанти підстановок. В своїй основі метод зважених кінцевих різниць є ідентичним (тільки для двофакторної

25
мультиплікативної моделі) методу простого додавання нерозкладного залишку при діленні цього залишку між факторами порівну. Це підтверджується наступним перетворенням формули
(
)
(
)
2 2
2 2
0 1
0 0
1 0
1
y
x
x
y
y
y
y
x
y
y
x
x
y
x
y
z
x



+

=
+
+

=


=

+

=

Аналогічно
2 0
y
x
y
x
z
x



+

=

Логарифмічний метод.
Цей метод полягає в тому, що досягається логарифмічно пропорційний розподіл залишку по двом факторам. У цьому випадку послідовності дії факторів не має значення.
Математично цей метод описується таким чином.
Факторну систему
z = x
y можна представити у вигляді lgz = lgx + lgy, тоді
∆lgz = lgz
1
– lg
z
0
= (lg
х
1
– lg
х
0
) + (lg
y
1
– lg
y
0
), або
0 1
0 1
0 1
lg lg lg
y
y
x
x
z
z
+
=
, де lg
z
1
= lg
х
1
+ lg
y
1
; lg
z
0
= lg
х
0
+ lg
y
0
Поділивши обидві частини формули на
0 1
lg
z
z
і помноживши на
z, одержимо:
z =
0 1
0 1
0 1
0 1
lg lg lg lg
z
z
y
y
z
z
z
x
x
z

+

,
(4) або
z = ∆
х
z +

y
z =
0 1
0 1
lg lg
y
y
k
x
x
k
+
, де
0 1
lg
z
z
z
k

=
або
0 1
lg lg
z
z
z
k


=
Вираз (4) для
z є його логарифмічним пропорційним розподілом по двох факторам. Тому такий підхід назвали ”логарифмічним методом розкладу приросту
z на фактори”. Особливість методу полягає в тому, що він дозволяє визначити беззалишковий вплив будь-якої чисельності
ізольованих факторів на зміну результуючого показника без встановлення послідовності дій.
У більш загальному вигляді у випадку наявності великого кількості множників в мультиплікативній моделі факторної системи, що аналізується (наприклад, z = x

y

p

q), сумарний приріст результуючого показника
z складатиме:
z = ∆
х
z +

y
z +

p
z +

q
z =
0 1
0 1
0 1
0 1
lg lg lg lg
q
q
k
p
p
k
y
y
k
x
x
k
+
+
+
Розклад приросту на фактори досягається за рахунок введення коефіцієнта k, який у випадку рівності нулю або взаємного погашення дії факторів не дозволяє використовувати вказаний метод. Формулу (4) для
z можна записати інакше:
z = ∆
х
z +

y
z =
zK
x
+
zK
y
,
(5) де
0 1
0 1
lg lg
z
z
x
x
K
x
=
;
0 1
0 1
lg lg
z
z
y
y
K
y
=
З цієї формули випливає, що загальний приріст результуючого показника розподіляється за факторами пропорційно відношенню логарифмів факторів до логарифму результуючого показника. При цьому можна використовувати логарифм за будь-якою основою.

26
Головним недоліком логарифмічного метода аналізу є те, що він не може бути
”універсальним”, його не можна застосовувати при аналізі довільного вигляду моделей факторних систем. Якщо при аналізі мультиплікативних моделей факторних систем при використанні логарифмічного методу отримуємо точні величини впливу факторів (у випадку, коли
z ≠ 0), то при такому ж аналізі кратних моделей факторних систем цього зробити не можна.
Так, якщо кратну модель факторної системи представити у вигляді
1

=
=
xy
y
x
z
, то
1 0
1 2
1 1
lg lg
y
y
y
y
=


, тоді формулу, аналогічну (5), можна застосувати для аналізу кратних моделей факторних систем, тобто
z =
y
x
y
x
K
z
K
z
z
z


+


=


+


, де
0 1
0 1
lg lg
z
z
x
x
K
x
=

;
0 1
1 0
lg lg
z
z
y
y
K
y
=

Якщо в кратній моделі факторної системи
y
x
z
= , y = p + q, то при аналізі цієї моделі одержимо:
z = z
1
z
0
=

х
z +

y
z =

х
z +

p
z +

q
z;

х
z =
zK
x
=
0 1
0 1
lg lg
z
z
x
x
z

,

y
z =
z – ∆
х
z

p
z =

y
z
L = ∆
y
z
(
) (
)
0 0
1 1
0 1
q
p
q
p
p
p
+

+

=

y
z
y
p



q
z =

y
z

p
z.
Варто зауважити, що наступна розбивка фактора
z
y
∆′ методом логарифмування на фактори
z
p
∆′ і
z
q
∆′ здійснити на практиці не вдається. Саме в цьому і полягає недолік описаного методу. Застосування ”змішаного” підходу в аналізі кратних моделей факторних систем не розв’язує проблеми отримання ізольованого значення із всього набору факторів, які впливають на зміну результуючого показника. Наявність наближених обчислень величин факторних змін доводить недосконалість логарифмічного методу аналізу.
Метод дроблення приростів факторів.
Подальшим розвиненням методу диференціального числення є метод дроблення приростів факторних ознак, при якому проводимо розбиття приростів кожної із змінних на достатньо малі відрізки і виконуємо обчислення значень частинних похідних при кожному (вже достатньо малому) переміщенні в просторі. Степінь розбиття приймається такою, щоб сумарна похибка не впливала на точність економічних обчислень.
Звідси приріст функції z = f(x, y) можна представити в загальному вигляді так
ε
+
∆′
+
∆′
+

∆′
+
∆′
+
∆′
+

∆′
=




=

=
)
,
(
)
,
(
0 0
1 0
0 0
1 0
y
i
y
x
i
x
f
y
y
i
y
x
i
x
f
x
z
n
i
y
n
i
x
;
n
x
x
x
0 1

=
∆′
,
n
y
y
y
0 1

=
∆′
, де n – кількість відрізків, на які розбивається приріст кожного фактора;

27


=
∆′
+
∆′
+

∆′
=
1 0
0 0
)
,
(
n
i
x
n
x
y
i
y
x
i
x
f
x
A
– зміна функції z = f(x, y) внаслідок зміни фактора х на величину
0 1
x
x
x

=

;


=
∆′
+
∆′
+

∆′
=
1 0
0 0
)
,
(
n
i
y
n
y
y
i
y
x
i
x
f
y
A
– зміна функції z = f(x, y) внаслідок зміни фактора у на величину
0 1
y
y
y

=

Похибка
ε зменшується із зростанням п.
Метод дроблення приростів факторних ознак має деякі переваги перед методом ланцюгових підстановок. Він дозволяє визначити однозначно величину впливу факторів при заданій точності обчислень, він не пов’язаний з послідовністю підстановок і вибором якісних і кількісних показників факторів.
Метод дроблення потребує виконання умов диференційованості функції в області, що розглядається.
Інтегральний метод оцінки факторних впливів.
Розглянемо інтегральний метод факторного аналізу, який є подальшим логічним продовженням метода дроблення приростів факторних ознак. Цей метод полягає в обчисленні суми приростів функції, яка визначена як добуток частинної похідної та приросту аргументу на нескінченно малих проміжках. При цьому повинні виконуватися такі умови:
1)
неперервна диференційованість функції, де в якості аргументу використовується економічний показник;
2)
функція між початковою і кінцевою точками елементарного періоду змінюється по прямій
Γ
ε
;
3)
постійне співвідношення швидкостей зміни факторів
dx
dy
= const.
У загальному вигляді формули для визначення кількісних величин впливу факторів на зміну результуючого показника (для функції z = f(x, y) – будь-якого вигляду) виводяться так:


ε
Γ

=







=
∆′
∆′
+
∆′
+

=
=
dx
f
x
y
y
x
i
x
f
A
A
x
n
i
x
n
x
n
x
)
,
(
lim lim
0 0
1 0
,


Γ

=







=
∆′
∆′
+
∆′
+

=
=
dy
f
y
y
y
x
i
x
f
A
A
y
n
i
y
n
y
n
y
)
,
(
lim lim
0 0
1 0
, де
Γ
ε
– прямолінійний орієнтований відрізок на площині (х, у), що з’єднує точку (х
о
, у
о
) з точкою (х
1
, у
1
).
У реальних економічних процесах зміна факторів в області визначення функції може відбуватися не по прямолінійному відрізку
Γ
ε
, а по деякій орієнтованій кривій Г. Але оскільки зміна факторів розглядається за елементарний період (тобто за мінімальний відрізок часу, протягом якого хоча б один із факторів отримає приріст), то траєкторія Г визначається єдиним можливим способом – прямолінійним орієнтованим відрізком
Γ
ε
, який з’єднує початкову і кінцеву точки періоду.
Виведемо формулу для загального випадку.
Нехай задано функцію зміни результуючого показника від факторів
y
= f(x
1
, …, x
m
), де х
j
– значення факторів,
j
= 1, 2, …, m;
у
– значення результуючого показника.
Фактори змінюються в часі, відомі значення кожного фактора в п точках, тобто будемо вважати, що в т – вимірному просторі задано п точок:
M
1
= (
1 1
x
,
1 2
x
, …,
1
m
x
), M
2
= (
2 1
x
,
2 2
x
, …,
2
m
x
), …,
M
n
= (
n
x
1
,
n
x
2
, …,
n
m
x
), де
i
j
x – значення j-го показника в момент i.
Точки М
1
і М
п
відповідають значенням факторів на початку і в кінці періоду.
Припустимо, що показник

Поділіться з Вашими друзьями:
1   2   3


База даних захищена авторським правом ©divovo.in.ua 2017
звернутися до адміністрації

войти | регистрация
    Головна сторінка


загрузить материал