Навчальний посібник Під загальною редакцією Т. А. Васильєвої, Я. М. Кривич Суми двнз "уабс нбу" 2015 (075. 8)



Сторінка7/28
Дата конвертації10.12.2016
Розмір3.5 Mb.
ТипНавчальний посібник
1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   ...   28

2.2 Функція корисності Неймана-Моргенштерна


У XVIII столітті було зроблено перші припущення науковців щодо того, що ризик для багатьох людей приносить “антикорисність”, тобто при збільшенні ступеня ризику завжди зменшується привабливість рішення. І лише в 40-х роках XX століття Д. Нейманом та О. Моргештерном була запропонована кардинально нова теорія сподіваної корисності, яка стосувалася вибору рішень з урахуванням ризику.

Основна ідея теорії полягає в тому, що рішення людини при виборі найкращої з існуючих альтернатив в умовах ризику може бути пояснене не єдиною результуючою характеристикою, а ймовірнісним розподілом вигоди, яку вона отримує при виборі конкретного рішення

Теорія Неймана-Моргенштерна заснована на тому, що у людини при прийнятті рішення є система уподобань як по відношенню до конкретних благ, так і до подій (з певними ймовірностями), від яких вона може отримати той чи інший набір благ. Дана ситуація отримала назву ризикових перспектив або лотереї.

Джон фон Нейманhttp://math4school.ru/img/math4school_ru/portrety01/neumann.jpg


Нейман зробив значний внесок у розвиток багатьох областей математики, квантової фізики та логіки, інформатики та інших галузей науки. Його праці суттєво вплинули і на економічну науку. Вчений став одним із творців теорії ігор, яка лягла в основу математичного підходу до явищ конкурентної економіки, теорії обчислювальних машин і аксіоматичної теорії автоматів.

Янош Нейман (так його звали в Угорщині) народився 3 грудня 1903 року в Будапешті, в багатій єврейській родині. Незабаром його батько отримав дворянський титул, і разом з приставками “фон” до прізвища хлопчик став іменуватися Янош фон Нейман. Пізніше, вже в США, його ім’я на англійський манер змінилося на Джон.

Був обдарованою дитиною і вже у 8 років освоїв основи вищої математики. У 1911 році Нейман вступив до Лютеранської Гімназії, яка відіграла величезну роль у розвитку світової науки. З її стін вийшли, крім фон Неймана, такі видатні вчені, як Дьордь Хевеши (1885–1966, Нобелівська премія з хімії 1943), творець голографії Денніс Габор (1900–1979, Нобелівська премія 1971), найближчий друг фон Неймана Юджин Вігнер (1902–1995, Нобелівська премія 1963), Лео Сцилард (1898–1964, премія Ейнштейна 1959), “батько” американської водневої бомби Едвард Теллер (1908–2003). Психологи та історики науки досі губляться в здогадах про причини такого спалаху геніальності в одному місці.

Викладачі швидко помітили особливі здатності Неймана і долучили його до лекцій та семінарів в університеті. У підсумку, в 18 років він опублікував свою першу наукову роботу.

Свої математичні дослідження Нейман продовжив в університетах Геттінгена, Берліна і Гамбурга. Вони були пов’язані з квантовою фізикою і теорією операторів. У цей же період молодий учений виконав основоположні роботи з теорії множин, теорії ігор та математичного обґрунтування квантової механіки і написав ряд статей за даними напрямками.

У 1925 році фон Нейман отримав диплом інженера-хіміка в Цюріху і одночасно захистив дисертацію “Аксіоматична побудова теорії множин” на звання доктора філософії в Будапештському університеті. Його робота на цю тему 1923 (автору на той час було 20 років) була настільки глибока, що відомий логік і математик А. Френкель порадив йому написати більш просту і популярну статтю про свої результати. Вона і була представлена як дисертація і отримала найвищу оцінку.

У 1930 році фон Нейман був запрошений на викладацьку посаду в американський Прінстонський університет. До цього часу фон Нейман зрозумів, що оскільки в Німеччині всього три місця професора чистої математики і близько 40 доцентів, які на ці місця претендували, то йому, єврею, сподіватися нема на що. Тому він прийняв пропозицію переїхати в США. Через два роки він перейшов у щойно створений Інститут перспективних досліджень (знаменитий Institute for Advanced Studies), у якому працював на посаді професора до кінця життя.

У 1937 році фон Нейман став громадянином США. У 1938 він був нагороджений премією імені М. Бохера, що присуджується раз на п’ять років за найбільш значні результати в галузі аналізу.

У 1955 р. фон Нейман був призначений членом (фактично, науковим керівником) Комісії США з атомної енергії і переїхав з Прінстона до Вашингтона. Він дуже пишався тим, що він, іноземець, отримав такий високий державний пост і працював на ньому з усією можливою віддачею. На початку 1956 р. з рук Ейзенхауера отримав вищу нагороду США для цивільних осіб – Президентську медаль Свободи.

Помер Джон фон Нейман 8 лютого 1957 р. внаслідок кісткової форми раку.



Декілька цікавих фактів про Джона фон Неймана:

Любив технічні новинки і був серед перших, хто на початку сорокових років встановив двірники на свою машину. Складні іграшки приносили йому особливе задоволення.

При водінні автомобіля ніколи не намагався розвинути максимальну швидкість і дуже любив, потрапляючи в затори, вирішувати інтелектуальні завдання якнайшвидшого виходу з них. У поїздках він часом так глибоко замислювався про свої проблеми, що доводилося дзвонити за уточненнями. Його дружина розповідала, що характерним був такий дзвінок: Я доїхав до Нью-Брунсвіка, мабуть їду в Нью-Йорк, але забув куди і навіщо.

Він міг прочитати книгу, а потім кілька років потому цитувати її дослівно. Герман Голдстайн, який близько працював з ним в Прінстоні в 40-ві роки, одного разу спробував перевірити його пам’ять, попросивши його згадати, як починається “Розповідь двох міст” Діккенса. Без паузи фон Нейман став декламувати першу главу, продовжуючи протягом 10 хвилин до тих пір, поки його не попросили зупинитися.

Але найбільше вражає швидкість, з якою він міг виконувати складні обчислення в умі. Одного разу один зі знаменитих математиків протягом цілої ночі намагався вирішити задачу за допомогою настільного калькулятора. Наступного ранку фон Нейман виконав ці ж обчислення в умі за 6 хвилин.
Джон фон Нейман за свої наукові досягнення був удостоєний багатьох нагород і відзнак. Він був обраний членом Американського філософського товариства (1938) і членом Національної Академії наук в надзвичайно молодому віці. Він був членом-кореспондентом Королівської голландської академії, Ломбардского інституту, Академії деї Лінч, Перуанської Академії, членом Американської академії мистецтв і наук, отримав Медаль за заслуги, нагороду за видатні цивільні заслуги і премію Фермі Комісії з атомної енергії США, премії Енріко Фермі і Альберта Ейнштейна.

Цікавим є також той факт, що у 1975 році на честь Джона фон Неймана було створено щорічну теоретичну премію фон Неймана, яка являє собою нагороду, що присуджується спільнотою Informs (англ. Institute for Operations Research and the Management Sciences) за внесок у дослідження операцій і теорію управління. Премія включає в себе 5 000 доларів США, медальйон і диплом.

Крім того, у 1990 році на честь Джона фон Неймана радою директорів IEEE була також запроваджена нагорода в галузі інформаційних технологій, яка має назву “Медаль Джона фон Неймана” і вручається щорічно з 1992 р. за видатні теоретичні, технологічні та ділові досягнення. Спонсором медалі виступає корпорація IBM.
Лотерея (L) – це конкретний випадок, при якому X присвоюється ймовірність його настання р і Х* – ймовірність (1-р). Так, наприклад, якщо лотерея L записана як (X;0,5;X*), то це дає можливість говорити про однакову ймовірність настання двох подій Х та Х*, тобто “50/50”.

Відповідно до припущення, що людина, яка приймає рішення, є раціональною, тобто намагається максимізувати корисність, можна визначити її поведінку:

якщо , то людина віддасть перевагу Х;

якщо , то людина віддасть перевагу Y;

якщо , то людина байдужа до Х та Y.

В кожному конкретному випадку перевага буде визначатися індивідуально.

Теорія корисності Неймана-Моргенштерна заснована на п’яти аксіомах (табл. 2.1), причому їх специфікою є застосування знаків співвідношення: нечітка перевага (), чітка перевага (>) та рівноцінність ().

Таблиця 2.1 – Аксіоми теорії Неймана-Моргенштерна


Назва аксіоми

Сутність аксіоми

1. Порівнянність

Для будь-яких Х та Х* властиве лише одне співвідношення: або ХХ* або Х*Х. Якщо людина віддає перевагу першому, то вважається, що ХХ*. За умови виконання обох співвідношень виникає рівноцінність між Х та Х*

2. Транзитивність

Якщо ХХ* а Х*Х**, то ХХ**

3. Неперервність

Якщо ХХ*Х**, то існує така ймовірність р, яка задовольняє:



4. Домінування

Якщо ХХ* та рр*, то відповідно:



5. Незалежність

Якщо ХХ*, то незалежно від Х** та р існуватиме рішення:


Якщо число варіантів настання події більше двох, то така лотерея називається складною. Під складною лотереєю L розуміється подія, при якій людина, яка приймає рішення, може отримати х1, х2,…, хn з ймовірностями відповідними для кожного – р1, р2,…, рn.

Нехай – це впорядкована за перевагами конкретної людини множина результатів настання події. Ймовірність настання хі результату події вважається ймовірністю U(Х), за якою людині, яка приймає рішення, немає різниці, безсумнівно отримати хі, чи брати участь в лотереї L (X;Ui;X*). Значення U – це цифрове вираження певної функції, яка визначається впорядкованою за перевагами конкретної людини множиною результатів настання події.



Поділіться з Вашими друзьями:
1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   ...   28


База даних захищена авторським правом ©divovo.in.ua 2017
звернутися до адміністрації

войти | регистрация
    Головна сторінка


загрузить материал