Міністерство освіти І науки україни полтавський державний педагогічний університет




Сторінка6/34
Дата конвертації02.12.2016
Розмір5.09 Kb.
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   34
Література
1. Лагно В.І., Спічак С.В., Стогній В.І. Симетрійний аналіз рівнянь еволюційного типу.
– К Ін-т математики НАН України, 2002. – 360 с.
2. Фущич ВИ, Баранник Л.Ф., Баранник А.Ф. Подгрупповой анализ групп Галилея, Пуанкаре и редукция нелинейных уравнений. – К Наук. думка, 1991. – 304 с.


Полтавський державний педагогічний університет імені В.Г. Короленка, 15 травня 2008 р.

42
Розв’язування деяких задач перевезення як задач
евклідової комбінаторної оптимізації на розміщеннях
Людмила Тимошенко
Значна кількість практичних задач може бути формалізована і розв’язана з використанням апарату евклідової комбінаторної оптимізації. Важливий клас задач останньої становлять задачі на розміщеннях. Деякі приклади моделювання практичних задач оптимізаційними задачами на розміщеннях описаний у [1]. Одна із побудованих в [1] математичних моделей задач перевезення є задачею знаходження пари
 
*
1
lexmax
k
k
j j
x R
j
C x
c x




*
1
arglexmax
k
k
j j
x R
j
x
c x




(1) при умовах


 
1 2
, ,...,
k
k
n
x x
x
E
G


(2)

j
j
j
b
x
a


k
j J
  .
(3) Для розв’язування задачі (1)–(3), які будь-якої лінійної умовної задачі лексикографічної комбінаторної оптимізації на розміщеннях, може бути використаний метод побудови лексикографічної еквівалентності, описаний у [2]. Спеціальний вигляд обмежень (3) може спростити відповідний алгоритм. Уданій статті розглядаються особливості деяких алгоритмів методу побудови лексикографічної еквівалентності для випадку, коли многогранник
M
задається умовами вигляду (3). Без обмеження загальності можемо вважати, що
 
G
S
a
b
j
j

,
k
j J
  . Дійсно, при
1
i
j
i
e
b
e



можемо покласти
j
i
b
e
 (очевидно, область
1
i
j
i
e
x
e



не містить допустимих точок задачі (1)–(3)). Так само при
1
i
j
i
e
a
e



покладаємо
1
j
i
a
e


. В основу алгоритмів методу побудови лексикографічної еквівалентності покладено алгоритми розв’язування
V
 
  - і V
 
  -задач, під якими розуміють пошук комбінаторних

-класів, найближчих зліва (справа) до заданого класу у порядку лексикографічного зростання. Перший із цих алгоритмів вимагає розв’язування задачі пошуку лексикографічно максимальної точки підмножини многогранника
M
, яка задається умовами

t
t
x
x

1
t J


 
,
i
x
e

 ,
де
i
e – найбільший елемент множини


 


 


1 1
,
,...,
,
,
L
i
i
n
i
S x
e
S G x
x
e
E
G e
x












Звітна наукова конференція викладачів, аспірантів, магістрантів і студентів фізико-математичного факультету
43
Якщо
M
задається умовами (3), розв’язок останньої задачі легко одержати без використання методів лінійного програмування. Дійсно, при
i
e
a


, задача, очевидно, розв’язку немає. Якщо
i
e
a


, то розв’язком задачі буде точка


1 1
1
,...,
, ,
,...,
i
k
x
x
e b
b




. Враховуючи викладені міркування, алгоритм розв’язування V
 
  -задачі може бути поданий у вигляді
1. Покладаємо номер ітерації
0
h
 , число
 
V
 

, якщо клас є комбінаторним, і
k

 в іншому разі.
2. Формуємо множину


,
L
S
x

3. Якщо


,
L
S
x

  , то переходимо на крок 4, інакше – на крок 5, поклавши
i
e – найбільший елемент множини


,
L
S
x

4. Якщо
1

 , то зменшуємо

на одиницю і повертаємося до кроку 2, інакше задача немає розв’язку.
5. Якщо
i
e
a


, то переходимо на крок 4, інакше покладаємо


1 1
1
,...,
, ,
,...,
h
i
k
x
x
x
e b
b





,
 
h
V
 

(
h
h
x
V

).
6. Якщо
1
k

  , то
h
x дає розв’язок
V
 
 
-задачі, інакше покладаємо
h
x
x

і збільшивши h на одиницю, переходимо на крок 2. Розглянемо приклад розв’язування V
 
  -задачі, якщо клас V визначається точкою x = (10; 2,7), G = {2; 2; 6; 10}, многогранник М визначається умовами 2 ≤ x
1
≤ 10, 6 ≤ x
2
≤ 6. Тоді
 
2
V

 ,
 
,2
L
S x

{2}. Оскільки
2 2 6
i
e
a
   , то покладаємо
1


і переходимо на крок 2.
   
,1 6; 2
L
S x

, тому
6
i
e
 ,і
 
0 6;6
x

,
 
0 2
V


. На наступній ітерації алгоритму одержуємо точку
 
1 6;2
x

, яка і дає розв’язок V
 
  -задачі. Розглянута в статті модифікація алгоритму пошуку найближчого комбінаторного класу може бути покладена в основу алгоритму розв’язування задач вигляду (1)–(3).
Література
1. Барболіна Т.М. Лексикографічна оптимізація на розміщеннях у моделюванні економічних процесів // Наукові записки Матеріали звітної наукової конференції викладачів, аспірантів, магістрантів і студентів фізико-математичного факультету. – Полтава ПДПУ, 2004. – С. 30–32.
2. Емец О.А., Барболина Т.Н. Решение задач евклидовой комбинаторной оптимизации методом построения лексикографической эквивалентности // Кибернетика и системный анализ. – 2004. – №5. – С. 115–125.
3. Стоян Ю.Г., Ємець О.О. Теорія і методи евклідової комбінаторної оптимізації. – К Інститут системних досліджень освіти, 1993. – 188 с.


Полтавський державний педагогічний університет імені В.Г. Короленка, 15 травня 2008 р.

44
Про класифікацію функцій дискриптивної складності
графів і систем
Едуард Яворський

У роботі розглянуто функції складності графів і системі досліджено класи як раніше введених у [1], такі нових. Указано на роль їх у системному аналізі. Означення 1. Функція
 
12
f
G визначає довжину цикла в графі G , який має найбільше число ребер. Функція
 
13
f G визначає найменше число лісів, на які можна розкласти граф
G
так, щоб вони не перетиналися по ребрах, а кожен ліс містив всі вершини графа G . Функція
 
14
f
G визначає найменше число ребер, видалення яких із графа G утворює з нього плоский граф. Функція
 
15
f G визначає найбільше число неплоских графів, які не мають спільних ребер і містяться в графі G . Функція
 
16
f
G визначає найменше число попарних перетинів його ребер при розміщенні графа
G
на площині. Теорема 1. Функції
12
f ,
13
f ,
14
f
,
15
f
,
16
f
належать до класу
 
C J
конструктивно адитивних на множині
J
всіх зв’язних графів. Для доведення треба показати виконуваність властивостей позитивності, інваріантності, монотонності і конструктивної адитивності, спираючись на відповідні означення і топологічні характеристики графа, описані в [2]. Теорема 2. Якщо
n
J
множина всіх зв’язних графів на
n
вершинах, то
  

12 0,3, 4, ,
n
f
J
n

K
,
 
13 1,2, ,
2
n
n
f
J


 
 
 
 


K
,
 



14 3
4 0,1, 2, ,
2
n
n
n
f
J




 



K
,
 
 


15 15 0,1, ,
n
n
f
J
f
K

K
, де
 
2 15 2
,
3 15,
,
3 30,
2
k
n
k
C якщо n
k
f
K
k
C
якщо n
k




 
 




 
 



Звітна наукова конференція викладачів, аспірантів, магістрантів і студентів фізико-математичного факультету
45
 
2 15 2
,
3 1 19 n 9r+7,
3
n
k
k
f
K
C
якщо n
k
i
 



 

 
 
 
2 15 14 при
3 2
5
n
k
k
f
K
C
n
k











Крім того,
 
 


16 16 0,1, 2, ,
n
n
f
J
f
K

K
, де
 
16 1
1 2
3 2 2 2
2 2
n
n
n
n
n
f
K



  
 
 

  
 
 

  
 
 

Для доведення використовуємо результати [2]. Розглядаємо класифікацію функцій конструктивної адитивності, які обумовлені впливом дводольного графа
0
G з’єднання при утворенні графа
1 2
0
G G
G
G



Означення 2. Функція
f
C

називається гіперадитивною, якщо для довільних графів
1 2
,
G G
J
 при всіх графах з’єднання
0
G
маємо
 
 
 
1 2
f G
f G
f G


Функція
f
C

називається гіпоадитивною, якщо
 
 
 
1 2
f G
f G
f G


при всіх
0
G . А коли для всіх
0
G маємо
 
 
 
1 2
f G
f G
f G


, то функція називається адитивною. У всіх інших випадках функція складності називаються параадитивною. Теорема 3.
 
0
C J
C
C
C
C







, де C

– клас всіх гіперадитивних функцій,
C

– клас всіх гіпоадитивних функцій,
C

– клас параадитивних функцій,
0
C – клас адитивних функцій. Для доведення треба показати, що жоден з цих класів непорожній. Для прикладу
12
f ,
14
f ,
15
f
C


,
 
13
,
f
G
C



,
 
G
C



,
9 0
f
C
 . Теорема 4. Кожен з класів C

та C

утворює адитивну півгрупу по відношенню додавання функцій із фіксованого класу. Твердження А. Функції гіперадитивної складності є структурно- оптимальним формальним засобом вираження принципу емерджентності в системному аналізі [3]. Означення 3. Нехай
u
C

означає клас функції конструктивної складності таких, що для кожного
0
G
u
 маємо


 
 
1 2
1 2
f G
G
u
f G
f G




Клас
u
C

означає всі функції конструктивної складності, такі що існує ребро
0
u G

, для якого


 
 
1 2
1 2
f G
G
u
f G
f G






Полтавський державний педагогічний університет імені В.Г. Короленка, 15 травня 2008 р.
Теорема 5. Функції
5
f ,
7
f ,
 
m G ,
 
G

,
 
m
G

,
10
f ,
11
f ,
14
f ,
15
u
f
C


, а функції
1
f ,
2
f ,
3
f ,
4
f ,
6
f ,
8
f ,
9
f ,
16
u
f
C


Теорема 6. Множина функцій класу
u
C

утворює адитивну півгрупу і містить принаймні 384 елементів, які породжують циклічні підпівгрупи в ній. Доведення слідує з того, що кожна підмножина
u
C

визначає нову функцію, а
 
 
 
10 11
m G
f
G
f G


Теорема 7. У класі
u
C

міститься принаймні 3072 елементи, які його породжують, тобто таких функцій, що не містять натуральних множників
2
k
 , які не є параметрами графа. Твердження В. Набір функцій складності звужує клас графів, які їм задовольняє, завдяки чому спрощується розв’язання проблеми ізоморфізму графів і виникає задача встановлення набору значень, які не є сумісними. Означення 4. Функція
 
17
f
G визначає найбільше число планарних підграфів у G , об’єднання яких дорівнює G . Теорема 8. Функція
 
17
f
G є функцією складності графів, але не є конструктивно адитивною. Для доведення другої частини теореми, треба показати, що існують графи
1
G ,
2
G такі, що
 
 
 
17 17 1
17 2
f
G
f
G
f
G


для довільних графів з’єднання
0
G . Для прикладу візьмемо
1 2
5
G
G
K


і
0 5,5
G
K

. Тоді
5 5
5,5 10
K
K
K
K



. Але
 
17 5
2
f
K
 і
 
17 10 3
f
K
 . При виборі іншого графа
0
G значення
 
17
f
G не зростає. Теорема 9. Клас функцій конструктивної адитивності є частиною класу всіх функцій дискриптивної складності графів і систем. Міру зміни стійкості систем при добавленні зв’язку визначає теорема. Теорема 10. Для функцій
1
f ,
12
f ,
16
f існують такі графи G , що з’єднання деяких двох вершин переводить його із класу 0 у клас значень
1
k
 , де
2
n
k

. Для функції
12
f із класу значень 0 у клас значень n , а для функції
16
f із класу 0 у клас s , якщо
3 2
n
s

 .
Література
1. Яворський Е.Б. Функції дискриптивної складності графів і систем // Наукові записки Матеріали звітної наукової конференції викладачів, аспірантів, магістрантів і студентів фізико-математичного факультету. – Полтава ПДПУ, 2004. – С. 18–20.
2. Харари Ф. Теория графов. – М Мир, 1973. – 300 с.



Звітна наукова конференція викладачів, аспірантів, магістрантів і студентів фізико-математичного факультету
47





МЕТОДИКА
НАВЧАННЯ
МАТЕМАТИКИ



Полтавський державний педагогічний університет імені В.Г. Короленка, 15 травня 2008 р.

48
Нерівності як одна з алгебраїчних змістових ліній
курсу математики 5–6 класів
Валентина Безсмертна
Сьогодні без належної математичної підготовки неможлива повноцінна освіта сучасної людини. Математика є опорним предметом у процесі вивчення суміжних дисциплін. Це потребує створення ще в
5–6 класах пропедевтичної основи для опанування систематичним курсом алгебри 7–9 класів та в старшій школі. Алгебраїчний матеріалу класах подається в підручниках окремими темами чи в тісному взаємозв’язку з певними арифметичними питаннями, які учні частково вивчали в початковій школі. Підхід до вивчення цього матеріалу ґрунтується на використанні індуктивних міркувань із використанням нової інформації на кожній числовій множині. У курсі математики 5–6 класів розгортаються практично всі змістові лінії шкільної алгебри. Розглянемо детальніше нерівності. Паралельно з рівняннями в учнів формуються початкові відомості про нерівності, хоча означення самого поняття і не дається. Школярів щез початкової школи вчили порівнювати натуральні числа, а в 5–6 класах вивчення числових систем розширюється. Тому запропоновані нижче типи вправ можна розглядати не лишена множині натуральних чисел, алей на множині цілих, раціональних, дійсних чисел. Звісно, що такі вправи пропонуються тільки після вивчення учнями від’ємних чисел, десяткових і звичайних дробів. Наведемо приклади.
1. Між якими двома найближчими натуральними числами знаходиться число 24; 56; 258; 99899?
2. Запишіть, яку цифру можна підставити замість зірочки, щоб утворилася правильна нерівність
1) 526*< 5261; 3) 7286 < 72*8;
2) 4345 > 43*8; 4) 2*08 > 2710. Якщо перша вправа є елементарною, то друга – дещо складніша, більше спрямована на розвиток пізнавальної активності школярів. Доцільно було б розглянути з учнями вправи на порівняння а) 543 + 29 < 543 + 31; б) 64 + 21 > 54 + 21, де права і ліва частини нерівності відрізняються одним із доданків. Дана вправа спрямована на підготовку учнів виконувати окремі операції над нерівностями в наступних класах. Крім того, виконання вправ такого типу пов’язане з поняттям монотонність функції, з яким учні знайомляться у старшій школі.
3. Запишіть, яку цифру можна підставити замість зірочки, щоб утворилася правильна нерівність
1) 63 + *1 < 63 + *1; 4) 341 + 1** > 341 + **1;


Звітна наукова конференція викладачів, аспірантів, магістрантів і студентів фізико-математичного факультету
49 2) *3 < *3 + 14; 5) *5 + 55 > 55 + 5*;
3) 71 + 1*1 < 71 + 1*1; 6) 69 + 9* > 69 + *6. Ця вправа має творчий, навіть дослідницький характер порівняно з попередніми. Крім числових нерівностей учні знайомляться з нерівностями зі змінними. Дуже істотним у методиці вивчення нерівностей на цьому етапі є те, що над ними не виконуються ніякі операції. Можливий розгляд таких типів вправ Назвіть натуральні числа, що задовольняють нерівність ах
< 5;
б) 4 < x < 8.
2.
Назвіть кілька раціональних чисел, що задовольняють нерівності: а) х < 2;
в) 4 < x < 5; б) х > 5;
г) 5 < x < 10.
Одним із кроків вивчення нерівностей є введення знаків

(менше або дорівнює) і

(більше або дорівнює), знаходження множини розв’язків відповідних нерівностей. Доцільним на даному етапі є вивчення теми
,,Координатний промінь”, за допомогою якої можна найкраще пояснити відповідний матеріал.
Усвідомити цей матеріал учням допоможуть такі вправи:
1.
Розв’яжіть нерівності: а < 0 і а

0 (у множині цілих невід’ємних чисел дістанемо відповідно такі множини розв’язків нерівностей
Ǿ,
 
0
). Напишіть розв’язки нерівності х

7 на множині натуральних чисел. Яка нерівність із знаком < (менше) має ту саму множину розв’язків?
3.
Напишіть дві нерівності (із знаком < і

), що мають одну й ту саму множину розв’язків: {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,} тощо.
Крім того, учні зустрічаються з подвійними нерівностями виду:
a < b < c, a

b < c, a < b

c,
a

b

c. Отже, вивчення нерівностей у 5–6 класах становить підготовчий етап для їх більш детального розгляду в курсі алгебри 7–9 класів. Зміст, в основному, охоплює такі завдання перевірити правильність нерівності, встановити, які числа є розв’язками нерівності, порівняти числові значення виразів за допомогою знака нерівності. Крім того, нерівності розглядаються як окремі випадки виразу, тісно пов’язані з числовими системами, рівняннями та функціями.
Література
1. Програма для загальноосвітніх навчальних закладів. Математика 5–12 класи. – К Ірпінь, 2005. – 64 с.
2. Бевз В.Г., Бевз Г.Г. Математика Підручник для 5 класу загальноосвітніх навчальних закладів. – К Зодіак–ЕКО, 2005. – 350 с.
3. Янченко Г, Кравчук В. Математика – 5: Підручник для 5 класу / За ред. Г.Янченко. – Тернопіль Підручники і посібники, 2003. – 271 с.


Полтавський державний педагогічний університет імені В.Г. Короленка, 15 травня 2008 р.

50
Про деякі методичні аспекти попередження
та усунення типових помилок, які допускають учні
при розв’язуванні рівнянь

Олександр Білаш, Костянтин Редчук
Загальновідомо, що розв’язання переважної більшості задач шкільного курсу математики пов’язане із розв’язуванням рівнянь тих чи інших типів. Метою нашого дослідження було виявлення основних причин помилок, які найчастіше допускаються учнями при розв’язуванні рівнянь, а також визначення шляхів попередження та усунення таких помилок. Проведений аналіз засвідчив, що в переважній більшості випадків типові помилки при розв’язуванні рівнянь допускаються внаслідок
1. Недостатнього розуміння основних понять. На помилки, які допускаються з цієї причини, припадає близько 33 % від числа всіх помилок, які допускаються при розв’язуванні рівнянь.
2. Низького рівня засвоєння основних тотожностей, зокрема, формул скороченого множення (28 %).
3. Прогалину знаннях, які стосуються основних функціональних властивостей (25 %). Таким чином, при побудові навчального процесу, націленого на успішне вивчення шкільного курсу математики, в першу чергу необхідно постійно тримати в полі зору проблему засвоєння відповідного понятійного апарату. Дослідження показують, що ефективним засобом організації пізнавальної діяльності учнів, яка стосується засвоєння понять, є впровадження у навчальний процес системи вправ, яка відповідає наступним методичним вимогам
1. Система вправ повинна забезпечувати роботу, націлену на формування наочних образів і конкретних уявлень, на основі яких може бути введене нове поняття.
2. Система вправ повинна сприяти засвоєнню терміна, символу, означення, формуванню правильних уявлень про об’єм поняття.
3. Система вправ повинна формувати усвідомлене вміння застосовувати поняття в простих, але характерних ситуаціях.
4. Через систему вправ повинно здійснюватися включення поняття, що вивчається, в логічні зв’язки з іншими поняттями. Зрозуміло, що при побудові системи вправ, націленої на формування деякого конкретного поняття, не всі сформульовані вище вимоги повинні реалізовуватися в однаковій мірі. Деякі поняття відрізняє досить високий ступінь абстракції, тому при їх вивченні вимагається тривала цілеспрямована робота. Засвоєння ж інших понять проходить значно



Поділіться з Вашими друзьями:
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   34


База даних захищена авторським правом ©divovo.in.ua 2017
звернутися до адміністрації

войти | регистрация
    Головна сторінка


загрузить материал