Міністерство освіти І науки україни полтавський державний педагогічний університет




Сторінка5/34
Дата конвертації02.12.2016
Розмір5.09 Kb.
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   34
Література
1. Овсянников Л.В. Групповой анализ дифференциальных уравнений. – М Наука,
1978. – 400 с.
2. Олвер П. Приложения групп Лик дифференциальным уравнениям. – М Мир, 1989.
– 639 с.


Полтавський державний педагогічний університет імені В.Г. Короленка, 15 травня 2008 р.

34
Симетрія і точні розв’язки рівняння Борна-Інфельда
Сергій Пацула
Певний клас точних розв’язків нелінійного рівняння Борна-Інфельда
2 2
00 11 1 00 0 11 1 0 01 2
0
u
u
u u
u u
u u u





(1)

де ( )
u u x

,


2 0
1
,
,
,
, ,
0,1
u
u
x
x x
u
u
x
x x





 







 
, знайдено в [1].
Розв’язки Барабашова і Чернікова [1], як показано в [2], можна отримати за допомогою перетворень годографа. Уданій статті з використанням групових властивостей рівняння (1) знайдені нові класи точних розв’язків рівняння (1). Теорема 1. Рівняння (1) інваріантне відносно вимірної алгебри Ліз базисними операторами
1 0
V
x



,
2 1
V
x



,
3 1
0 0
1
V
x
x
x
x






,
4 0
1 0
1
V
x
x
u
x
x
u









,
5
V
u



. (2) Доведення теореми проводиться за допомогою методу Лі-
Овсяннікова [3]. Алгебра (2) породжує такі інфінітезимальні перетворення
 
 
2
,
,
0,1,
x
x
a
x u
O a





  


 
 
2
,
,
u
u a x u
O a

  

(3)
00 2
,
,
0,1,
c x
d
c u d












(4) де
00 11 01 10 2
,
,
,
c
c c
c d d

 
 
– деякі параметри.
Розв’язки рівняння (1) будемо шукати у вигляді
   
 
,
u
f x
g x
 


(5) де
 
 
 


1 1
,...,
n
x
x
x
 





– інваріанти групи перетворень (3), тобто перші інтеграли системи звичайних диференціальних рівнянь
 
 
 
0 1
0 1
.
,
,
,
n
n
dx
dx
du
x u
x u
x u





 

(6) Функції
 
f x і
 
g x знаходяться із (6),
 
 
– невідома поки що функція. Проінтегруємо систему (6) і випишемо явний вигляд функцій
 
f x і
 
g x і інваріанта
 
1
x
 

. В залежності від співвідношень між
,
c
d


і
2
d розглянемо декілька випадків.
1)
 
 
,
1,
,
,
a x
f x
g x
x
a
const













Для функції
 
 
отримуємо рівняння




2 0 1 1 0 0.
a a
a
a









(7)


Звітна наукова конференція викладачів, аспірантів, магістрантів і студентів фізико-математичного факультету
35
У тому випадку, коли


2 0 1 1 0 0
a a
a
a






 , розв’язком рівняння (1) є лінійна функція u
x
C




 , де


і C – довільні сталі. У випадку ж, коли


2 0 1 1 0 0
a a
a
a






 , розв’язком рівняння (1) буде
 
u
a x
x








,

(8) де

– довільна двічі диференційована функція. Цей розв’язок збігається з розв’язком [1], коли
1 0
1 0
,
0.
a
a


 


2)
 
 


0 1
,
1,
ln
,
,
,
y y
f x
g x
a
y
y
y
x
a
a a const














В даному випадку для функції
 
 

отримуємо рівняння Абеля


2 3
2 2
3 0
a
a














(9) Загальний розв’язок рівняння (9) має вигляд
 


2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
1
ln
,
2 1
ln
,
2
ln
a
b
a
a
b
a
a
b
a
b
c
b
a
a
b
a
b
b
a
a b
a
c
barctg
b
b
a
a
b
c
a
a
a




 
 





 

 









 











 


 











 

















































Розв’язок рівняння (1) можна записати у вигляді
2 2
2 0
1 2
2 2
0 1
2 2
2 0
1 2
2 2
0 1
1 1
1
ln th ln cth ln
,
2 4
4 1
1
ln th ln arctg
,
2 4
a
a
b
a
a
y
y
a y y
b
y y
b
c
y
y
b y y
a
y y
a
y
y
a b
y y
a
y y
u
c
b
y
y
b a
y y
b
y y
a








































































































1 2
2 0
1
ln
c y
y
y y
a
a
y y
a




























Література
1. Барабашова Б.М., Черников НА. // ЖЭТФ. – 1966.– №5. – C. 1256–1296.
2. Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны. – М Мир, 1977. – 300 с.
3. Фущич ВИ, Штелень В. М, Серов Н. И. Симметрийный анализ и точные решения нелинейных уравнений математической физики. – К Наукова думка, 1989. – 336 с.


Полтавський державний педагогічний університет імені В.Г. Короленка, 15 травня 2008 р.

36
Симетрія рівняння Крічевера-Новікова

Марія Пономарьова

У даній статті ми проводимо групову класифікацію рівняння
Крічевера-Новікова [1]
 
x
u
u
r
xx
u
xxx
u
t
u
2 2
3









, (1) де
 
x
t
u
u
,

,
 
u
r
– довільна функція змінної u ,
t
u
u
t



,
x
u
u
x



і т.д. Згідно з відомим алгоритмом Лі-Овсяннікова [2, 3] оператори симетрії шукаємо в класі операторів






, ,
, ,
, ,
t
x
u
v
t x u
t x u
t x u




 
 
 , (2) атому умова інваріантності рівняння (1) відносно операторів (2) має вигляд
 
,
0 2
3
))
(
(
2 3
3 1
2 2
1









F
u
x
x
xx
x
xx
xx
x
xxx
t
r
u
u
r
u
u
u
u





(3) де умова [F] означає заміну в лівій частині (3)
t
u на
 









u
r
xx
u
u
xxx
u
x
2 2
3 1
,
)
(
)
(
)
(




t
x
t
t
t
t
D
u
D
u
D



,
)
(
)
(
)
(




x
x
x
t
x
x
D
u
D
u
D



,
)
(
)
(
)
(




x
xx
x
tx
x
x
xx
D
u
D
u
D



,
)
(
)
(
)
(




x
xxx
x
txx
xx
x
xxx
D
u
D
u
D



,
t
D
,
x
D

узагальнені оператори диференціювання.

Провівши необхідні підстановки, перетворення і розщеплення рівності (3) за вільними похідними функції u , приходимо до такої системи рівнянь
2 1
C
t
C



;
3 1
3 1
C
x
C



;
7 6
2 5
4
C
u
C
u
C
x
C





;

0

r
x

;


0 2




u
x
t
u
r
r




, (4) де
1
C ,
2
C ,...,
7
C – довільні сталі інтегрування. Останнє рівняння системи (4) є класифікуючим. Провівши його аналіз, приходимо до таких результатів.

Лема. Якщо в рівнянні (1) функція
r
є довільною функцією змінної
u , то алгебра інваріантності рівняння (1) є двовимірною алгеброю Ліз такими базисними операторами
t
v


1
,
x
v


2


Звітна наукова конференція викладачів, аспірантів, магістрантів і студентів фізико-математичного факультету
37
Теорема. Алгебри інваріантності рівняння (1) мають розмірність вищу за два у таких випадках (нижче у таблиці наведено значення функції
r
в рівнянні (1) та відповідні додаткові оператори симетрії
Значення
r
,
0



Додаткові оператори


2 2
2




u
r
, 0




u
u
v



2 2
3



2 2
2




u
r
, 0




u
u
v



2 2
3







u
p
e
u
r
arctan
2 2
2


,
0


, 0

p


u
x
t
u
p
x
t
v







2 2
3 3
4 3
1








2 2
2 2
p
u
u
u
r










,
0


,
0

p


u
x
t
u
p
px
t
v







2 2
3 3
4 3
1



n
u
r




,
2

n
,
4

n
,
0

n
,
R





u
x
t
u
n
x
t
v









2 3
4 3
1 3


2




u
r
,
R


u
u
v


3
ku
e
r


, 0

k
u
x
t
k
x
t
v






3 4
3 1
3 1
4



pu
e
u
r

, 0

p
,
u
x
t
u
p
x
t
v






2 3
3 4
3 1


r
,
u
x
t
u
x
t
v






3 2
3 1
3
;
u
v


4


4




u
r
,
R




u
x
t
u
x
t
v








3 2
3 1
3
;


u
u
v





2 4
0

r
x
t
x
t
v




3 1
3
;
x
x
v


4
;
u
u
v


2 5
;
u
u
v


6
;
u
v


7

Література
1. Krichever I.M., Novikov S.P. Holomorphic bundles over algebraic curves and nonlinear equations// Uspekhi Mat. Nauk. – 1980. – v. 35, №6. – P. 47–68.
2. Овсянников Л.В. Групповой анализ дифференциальных уравнений. – М Наука,
1978. – 400 с.
3. Олвер П. Приложения групп Лик дифференциальным уравнениям. – М Мир, 1989.
– 639 с.


Полтавський державний педагогічний університет імені В.Г. Короленка, 15 травня 2008 р.

38
Постановка задачі багатокритеріальної оптимізації
на множині полірозміщень

Олена Родіонова
Постановка проблеми в загальному вигляді та її зв’язок зважливими
науковими завданнями. Для розв’язування практичних задач часто використовують математичні моделі оптимізаційних задач. В залежності від складності задачі, яку необхідно розв’язати, може одночасно розглядатись не один, а кілька критеріїв оптимізації, що не можуть бути поєднані в один. Але часто виникає потреба врахувати комбінаторні властивості множини допустимих значень. Отже, виникає питання поєднання пошуку розв’язків задач багатокритеріальної оптимізації з урахуванням комбінаторного характеру обмежень.
Вищезгадані проблеми є складними і малодослідженими, тому питання їх вивчення є актуальним завданням. Були проведені дослідження, що стосуються математичного моделювання задачі в області економіки і техніки з використанням моделей дискретної багатокритеріальної оптимізації. Вивчені властивості комбінаторних оптимізаційних задач з векторним критерієм, питання їх складності, розв’язності, стійкості, алгоритмічні проблеми їх розв’язування. У наш час досліджуються властивості комбінаторних множин та розробляються методи розв’язування задач комбінаторної оптимізації. Питання вироблення підходів та методів розв’язування задач на полірозміщеннях з багатьма критеріями не є розв’язаним, атому є актуальним.
Постановка задачі.

На практиці багатокритеріальні задачі виникають при необхідності формалізації окремих вимогу вигляді критеріїв, оптимальні значення яких необхідно знайти, причому об’єднання цих критеріїв є неможливим. Розглянемо структуру задачі. Її визначають множина допустимих розв’язків і набір цільових функцій (критеріїв. Множина допустимих розв’язків формується у вигляді обмежень на змінні
1
k
ij j
i
j
a x
b



, де
k
j J

. (1) Через
k
J ми позначаємо множину s перших натуральних чисел
(
{1,..., }
k
J
k

). Критерії, що оптимізуються, представляються набором функцій


Звітна наукова конференція викладачів, аспірантів, магістрантів і студентів фізико-математичного факультету
39
m
s
n
x
c
x
s
n
x
c
x
k
j
j
s
j
n
k
j
j
j
n
)..
1
(
max;
)
(
1
min;
)
(
1 1
1 1














(2) Умова належності розв’язків множині полірозміщень може виникати з додаткових умов, що накладаються на змінні (наприклад, у задачі формування портфеля цінних паперів таким обмеженням може виступати політика інвестора) в самій постановці задачі. Тоді у побудованій математичній моделі на розв'язок накладається умова належності множині полірозміщень у вигляді
1
( ,..., )
( , )
mk
k
n
x
x
x
E
G H



. (3) Згідно [3] дану умову можна записати у вигляді
1 1
1
,
i
i
i
i
i
i
N
N
i
j
j
j
i
s
j
j
j
g
x
g
N
i J





 








 

 
(4) З урахуванням усіх вище означених умов, задача матиме вигляд Знайти множину значень (3), що задовольняють умовам (1) та є оптимальними для функцій (2). Таку задачу назвемо комбінаторною багатокритеріальною задачею на множині полірозміщень.
Висновки та перспективи подальших досліджень. Ми отримали постановку багатокритеріальної задачі на множині полірозміщень. Як зазначалося, комбінаторні багатокритеріальні задачі є досить актуальними при розв’язуванні ряду прикладних задач, але розроблені методи недостатньо адекватно можуть дати розв’язок таких задач. Тому доцільною є розробка нових підходів до їх розв’язування. Також важливим аспектом є використання властивостей комбінаторних множин при формуванні нових методів і підходів до розв’язування визначеного класу задач. Розробляється комбінований метод, що є поєднанням двох раніше розглянутих методів методу обмежень [1] і методу комбінаторного відсікання [2]. При його реалізації умова належності записується у вигляді системи нерівностей та додається до вже існуючих обмежень і проводиться пошук розв'язку оптимізаційної задачі.

Література
1. Зайченко Ю.П. Исследование операций. Нечеткая оптимизация: Учеб. пособие. – К Вища школа, 1991. – 198 с.
2. Ємець О.О., Колєчкіна Л.М. Задачі комбінаторної оптимізації з дробово-лінійними цільовими функціями Монографія. – К Наук. думка, 2005. – 113 с.
3. Стоян Ю.Г., Ємець О.О., Ємець Є.М. Оптимізація на полірозміщеннях: теорія та методи Монографія. – Полтава РВЦ ПУСКУ, 2005. – 103 с.


Полтавський державний педагогічний університет імені В.Г. Короленка, 15 травня 2008 р.

40
Про точні розв’язки двовимірного рівняння Фоккера-
Планка релеївського типу
Сергій Рябов
Рівняння Фоккера-Планка є основним рівнянням теорії неперервних Марковських процесів. Назва рівняння пов’язана з роботами Фоккера і Планка. Фоккер досліджував броунівський руху полі випромінювання, а
Планк спробував побудувати повну теорію флуктуації. Рівняння Фоккера-
Планка визначає зміну густини ймовірності для даної системи з плином часу і є основою аналітичних методів вивчення дифузійних процесів у природничих науках. У зв’язку з цим спостерігається підвищений інтерес до отримання точних розв’язків цього рівняння. Розглянемо двовимірне рівняння Фоккера-Планка
 
 
2 2
2 2
1 2
1 2
1 1
,
,
2 2
u
u
u
A x y u
A x y u
B
B
t
x
y
x
y









 












(1) з однорідним коефіцієнтом знесення


   


1 2
, ,
,
,
,
A t x y
A x y A x y

і коефіцієнтом дифузії вигляду


1 2
0
, ,
,
0
B
B t x y
B


 





де
1 2
,
B B – сталі. Використавши алгоритм Лі для дослідження симетрії рівняння (1), приходимо до такого результату.
Теорема 1. Рівняння Фоккера-Планка (1) допускає вимірну алгебру інваріантності тоді і тільки тоді, коли коефіцієнти знесення та дифузії задовольняють такі умови
 
 
2 2
2 2
1 2
1 2
1 2
3 4
5 1
2 2
1 1
2
,
,
x
y
y
x
A
A
A
A
C x
C x C y
C y C
A B
A B
B
B









де


1,2,...,5
i
C i

– довільні дійсні сталі інтегрування. Розглянемо рівняння (1), у якому




1 2
, ,
,
, ,
,
A t x y
x A t x y
y


 
 
1 2
1,
B
B

 тобто рівняння вигляду
2 2
2 2
1
[
]
[
]
2
u
u
u
xu
yu
t
x
y
x
y
























(2) Рівняння (2) називають рівнянням Фоккера-Планка релеївського типу.


Звітна наукова конференція викладачів, аспірантів, магістрантів і студентів фізико-математичного факультету
41
Оскільки рівняння (2) є лінійним рівнянням дифузійного типу і має розмірність алгебри інваріантності ту ж саму (вимірну, що й лінійне двовимірне рівняння теплопровідності
2 2
2 2
,
p
q














(3) то між цими рівняннями існує взаємозв’язок, що встановлюється таким твердженням.
Теорема 2. Двовимірне рівняння Фоккера-Планка релеївського типу
(2) за допомогою заміни





 
 



, ,
, ,
, ,
,
, ,
,
, ,
,
u t x y
f t x y
t x y p t x y q t x y
 

де диференційовна функція f і нові незалежні змінні , ,
p q

визначаються відповідно за формулами
 
 
 
 
1
exp 2
,
exp 2
,
exp
,
exp
,
4
f
t
t
p
t x q
t y












зводиться до лінійного двовимірного рівняння теплопровідності (3). Провівши дослідження лінійного двовимірного рівняння теплопровідності згідно з алгоритмом Лі [2], приходимо до точних розв’язків цього рівняння. Далі, використавши знайдені точні розв’язки рівняння (3) і теорему 2, знаходимо точні розв’язки двовимірного рівняння
Фоккера-Планка релеївського типу. Наведемо приклади таких розв’язків.
 
1
exp 2
;
u C
t




2 1
2
exp
;
u
C
t
x





 
 
1 2
exp 2
exp 3
;
u C
t
C x
t




 






2 2
1 2
exp 2 2
ln
;
u
t
t
x
y
C
C






 
2 2
2 2
1 2
exp
;
x
y
u
t
C
C
x
y
x
y











 
 
 
1 2
exp exp
1
exp 2
exp 2
exp exp
;
8 2
2
t
t
u
t
t
y C
y C

































 
 
 
1 2
exp exp
1
exp 2
exp 2
cos sin
8 2
2
t
t
u
t
t
C
y
C
y



































Поділіться з Вашими друзьями:
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   34


База даних захищена авторським правом ©divovo.in.ua 2017
звернутися до адміністрації

войти | регистрация
    Головна сторінка


загрузить материал