Міністерство освіти І науки україни полтавський державний педагогічний університет




Сторінка4/34
Дата конвертації02.12.2016
Розмір5.09 Kb.
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   34
Література
1. Баранник А.Ф., Марченко В.А., Фущич ВИ. О редукции и точных решениях нелинейных многомерных уравнений
Шредингера // Теоретическая и математическая физика. – 1991. – 85, № 4. – С. 216–230.


Полтавський державний педагогічний університет імені В.Г. Короленка, 15 травня 2008 р.

28
Про грассманову оболонку матричних супералгебр
Валентин Марченко
Нехай L – супералгебра Ліна полем F , тобто лінійний
2
Z - градуйований простір з фіксованою парністю
0 1
L
L
L


, в якому задано білінійну операцію [ , ]
x y , причому для однорідних елементів виконуються рівності


 
 
[ , ]
,
x y
x
y





 
   
1
[ , ]
1
[ , ],
x
y
x y
y x



 
 
   
 
   
 
   
[ ,[ , ]] 1
[ ,[ , ]] 1
[ ,[ , ]] 1 0,
x
z
z
y
y
x
x y z
z x y
y y x











 де
 
0
z


припри.
Супералгебри Лі пов’язані з
2
Z
-градуйованими асоціативними алгебрами подібно до того, як звичайні алгебри Лі пов’язані зі звичайними асоціативними алгебрами. Кожна з операцій
 
   
[ , ]
1
,
x
y
x y
xy
yx



 
(1)
 
   
[ , ]
1
,
x
y
x y
xy yx


 

(2) де
,
x y – однорідні елементи, перетворює асоціативну алгебру в супералгебру Лі. Найбільш важливими прикладами супералгебр Лі є матричні супералгебри. Наприклад, повна лінійна супералгебра


,
Mat p q складається з матриць вигляду
A B
C D






, де
,
p p
A F


,
p q
B F


,
q p
C F


.
q q
D F


Парну частину цієї супералгебри складають матриці вигляду
0 0
A
D






, непарну –
0 0
B
C






, а бінарна операція комутування породжується стандартним множенням матриць за однією із формул (1) або (2). Основним недоліком такої (або аналогічної) структури є те, що бінарна операція в супералгебрі Лі визначається на основі асоціативної операції лише для однорідних елементів, до того ж за різними правилами. Пропонується розширити множину скалярів поля F до алгебри
Грассмана  над полем F і розглядати грассманову оболонку супералгебри
L
. При цьому кожен елемент супералгебри
L
представлятиметься у вигляді
i i
i i
x
y





, де
0
,
i

 
0
,
i
x
L

1
,
i

 
1
i
y
L



Звітна наукова конференція викладачів, аспірантів, магістрантів і студентів фізико-математичного факультету
29
Бінарна операція в супералгебрі буде породжуватись асоціативною операцією за правилом



 



,
(
,
(
)
,
,
).
i i
i i
i i
i
i
i i
i i
i i
i
i
i
i
i
i
i i
i i
i
j
i
j
i
j
i
j
i
j
i
j
i
j
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x x
x y
y y












 
 
 
 






















































Зазначимо, що елементи алгебри Грассмана комутують з елементами супералгебри. Такий підхід дозволяє ввести бінарну операцію в супералгебрі Ліна основі бінарної операції у відповідній асоціативній алгебрі однотипно як операцію комутування [ , ]
x y
xy yx


Таким чином, повна лінійна супералгебра Лі трансформується в алгебру матриць вигляду
A B
C D






зі стандартною операцією комутування, але елементами матриць A і D будуть парні елементи алгебри Грассмана, матриць B і C – непарні. Якщо розглянути алгебру Грассмана
 

 над полем F із системою твірних
 

, де
2 0

 , то відповідна реалізація повної лінійної супералгебри Лі матиме вигляд
A
B
C
D








, де , , ,
A B C D – матриці над полем F . Як приклад, розглянемо супералгебру
 
1,1
Mat
над полем R (або C ). Ця алгебра матиме розмірність 4, а її базис складатимуть такі матриці
1 0 0 0






,
0 0 0 1






,
0 0 0







,
0 0 0







, де
2 0

 . Зобразимо твірну алгебри
Грассмана матрицею
0 1 0 0



 



і одержимо матричну реалізацію супералгебри
 
1,1
Mat
над полем R (або C ) вигляду
0 0 0
0 0 0
0 0 0 0
a
b
a
c d
d












зі стандартною операцією комутування.
Література
1. Березин ФА. Введение в алгебру и анализ с антикоммутирующими переменными. – М Изд-во МГУ, 1983. – 208 с.


Полтавський державний педагогічний університет імені В.Г. Короленка, 15 травня 2008 р.

30
Симетрійні властивості лінійних рівнянь Даламбера
Олександр Москаленко
У даній статті ми зупинимося на дослідженні симетрійних властивостей рівняння Даламбера з потенціалом
( , , )
tt
xx
yy
u
u
u
t x y u




 , (1) де ( , , )
t x y
 

– деяка гладка функція. Для дослідження симетрійних властивостей рівняння (1) використовуємо метод Лі-Овсяннікова [1,2], згідно з яким пошук операторів симетрії здійснюється в класі операторів v
( , , , )
( , , , )
( , , , )
( , , , )
t x y u
t x y u
t x y u
t x y u
t
x
y
u
















(2) Знаходимо друге продовження
2
v оператора v , яке матиме вигляд
0 1
2 00 01 11 12 02 22 2
v v
t
x
y
tt
tx
xx
xy
ty
yy
u
u
u
u
u
u
u
u
u


















 

















Далі одержуємо
00 11 22 2
v (
)
tt
xx
yy
t
x
y
u
u
u
u
u
u
u



















і визначальне рівняння набуває вигляду


00 11 22 0
tt
xx
yy
t
x
y
u
u
u
u
u
u
u

















 . (3) Тут перехідна диференціальний многовид M полягає втому, що в лівій частині (3) величину
tt
u слід замінити на
xx
yy
u
u
u



. Тепер потрібно знайти коефіцієнти
00 11 22
, ,
  
і підставити їх у рівняння (3). Виконавши необхідні підстановки і заміни у рівнянні (3) прирівняємо коефіцієнти при
,
, , , ,
xx
yy
x
y
t
tx
u u u u u u та
ty
u до нуля і одержимо таку систему рівнянь
0,
u


0,
u


0,
u


,
t
x



,
t
y
 

,
x
t



,
y
t



,
x
y


 
0,
uu


2
,
yu
tt
xx
yy




  

2
,
xu
tt
xx
yy




 


2
,
xu
tt
xx
yy







(
2
)
0.
u
t
t
t
t
tt
xx
yy
u

     
 






 




Розв’язавши цю систему, знайдемо невідомі функції , , ,
   
. Вони мають вигляд
2 2
2 1
2 3
4 5
7 8
,
2 2
2
t
x
y
C
C tx C ty C x C y C t C

















2 2
2 2
1 3
4 6
7 9
,
2 2
2
t
x
y
C
C tx C xy C t C y C x C

















2 2
2 3
1 2
5 6
7 10
,
2 2
2
t
x
y
C
C tx C xy C t C x C y C



















Звітна наукова конференція викладачів, аспірантів, магістрантів і студентів фізико-математичного факультету
31 1
2 3
11 1
1 1
( , , )
2 2
2
C t
C x
C y C
u P t x y



 








Базис множини розв’язків рівняння (3) можна отримати, поклавши одну із сталих
i
C , рівною одиниці, а інші нулю. У результаті, записуючи замість значень , , ,
   
відповідні оператори
i
v
, одержимо
2 2
2 2
2 2
1 2
2 2
2 3
4 5
6 7
8 9
10 11 1
1 2
2 2
2 2
2 2
2
,
,
1
,
,
,
2 2
2 2
,
,
,
,
,
t
x
y
u
x
t
y
u
y
t
x
u
t
x
t
y
x
y
t
x
y
t
x
y
u
t
x
y
t
x
y
v
tx
ty
tu
v
tx
xy
xu
t
x
y
v
ty
xy
yu
v
x
t
v
y
t
v
y
x
v
t
x
y
v
v
v
v
u





































     

   
   




   
     
 
 
 
 
де
,
,
,
x
y
t
u
x
y
t
u




 
 
 
 




Проведемо симетрійну редукцію рівняння Даламбера. Нехай




2 2
2 2
2 0
1 4
C
C
t
x
y
t







, тоді це рівняння набуде вигляду


2 2
2 2
2 1
4
tt
xx
yy
Cu
u
u
u
t
x
y
t







. (4) Виберемо алгебру
12
J
  , де
12
x
y
J
y
x
   
Знаходимо повну систему інваріантів
2 2
1 2
,
x
y
t




 . Інваріантні розв’язки рівняння (4) будемо шукати у вигляді


1 2
,
u
  

Тоді
2 2
22 1
11 1
11
,
2 4
,
2 4
tt
xx
yy
u
u
x
u
y










, де
2 2
,
i
ii
i
i












Підставляючи знайдені виразив рівняння (4), одержимо редуковане рівняння


22 1
1 11 2
2 2
2 1
2 4
0 4
4 1
C




 










Література
1. Овсянников Л.В. Групповой анализ дифференциальных уравнений. – М Наука,
1978. – 400 с.
2. Олвер П. Приложения групп Лик дифференциальным уравнениям. – М Мир, 1989.
– 639 с.


Полтавський державний педагогічний університет імені В.Г. Короленка, 15 травня 2008 р.

32
Групова класифікація класу нелінійних еволюційних
рівнянь третього порядку

Ігор Онищенко
У даному повідомленні ми зупиняємося на задачі групової класифікації рівняння
x
xx
x
xxx
t
u
u
h
u
u
g
u
u
f
u
)
(
)
(
)
(



, де
)
,
,
(
y
x
t
u
u

,
x
u
u
x



,
2 2
x
u
u
xx



і т. д. В (1)
0

f
, а саме рівняння є нелінійним. Для групової класифікації рівняння (1) будемо використовувати метод Овсяннікова [1] згідно з яким пошук операторів симетрії здійснюється в класі операторів








u
y
x
t
u
y
x
t
u
y
x
t
u
y
x
t
u
y
x
t
v








,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,




(2)
Тоді умова інваріантності рівняння (1) відносно оператора (2) матиме вигляд
0
)
1
(










h
u
h
g
u
g
f
u
f
x
x
xx
xx
x
xxx
xxx
t







(3)
де
xx

та
xxx

– коефіцієнти удвічі та тричі подовженому операторі
v
відповідно (деталі див, наприклад, в [1, 2]), умова
)
1
(
означає заміну в коефіцієнтах
t

,
xx

,
xxx

змінної
t
u
на
 
 
 
x
xx
x
xxx
u
u
h
u
u
g
u
u
f


Розщеплення рівності (3) за вільними диференціальними змінними й подальший аналіз отриманих диференціальних рівнянь приводить до такого результату Шуканий клас операторів має вигляд
 
 


u
u
x
t
c
x
x
t
b
t
t
a
v






,
,
,
, де функції
h
g
f
c
b
a
,
,
,
,
,
задовольняють систему рівнянь.
;
0
)
3
(
)




f
a
b
f
c
a
t
x


;
0
)
(
3
)
2
(
)
(
)









f
b
c
u
c
g
a
b
g
c
c
b
u
b
xx
xu
x
uu
t
x
x
u
x
x










;
0 3
3 2
)
3 2
2

















t
t
x
xxx
x
uuu
x
xuu
xxu
xxx
x
x
t
x
x
x
x
xx
uu
x
xu
xx
x
c
b
u
c
u
c
u
c
c
b
u
f
c
a
u
b
u
h
u
h
c
g
c
c
u
c
b
u
c
(4)
Подальший аналіз системи (4) приводить до таких результатів. Лема 1. Якщо в рівнянні (1)
h
g
f
,
,
– довільні функції своїх аргументів, то його алгебра інваріантності є двовимірної алгеброю Лі
x
t

 ,
Теорема. Алгебра інваріантності рівняння (1) має розмірність вищу за два у таких випадках (нижче визначимо значення функцій та відповідні алгебри інваріантності.
1) g – будь-яка функція,
0
,
,
),
(




A
R
B
A
B
u
A
f
,
R
B
u
h









,
,
)
(
1
:
x
t
u
x
t
B
u
t
x
t









,
,
)
(
2 1
)
(
2 1

;


Звітна наукова конференція викладачів, аспірантів, магістрантів і студентів фізико-математичного факультету
33 2) g – будь-яка функція,
0
,


A
A
f
,
R
u
h







,
,
:
x
u
x
t
t






,
,

3)
0

g
, f — будь-яка функція,
R
h




,
:
x
t
x
t
t
x
t






,
,
)
2
(
3 1

4)
0

g
,
R
m
A
e
h
A
f
mu











,
0
,
,
:
x
t
u
x
t
t
x
m
mt















2 1
2 3
,
,
5)
0

g
,
R
B
B
u
h
A
f






,
,
0
,
ln
,




:


u
x
x
t
B
u
t







,
,
6)
0

g
,
R
p
AC
k
p
Ce
h
Ae
f
ku
ku






,
0
,
0
,
,
:
t
x
x
t
u
kpt
kt







,
,
7)
0

g
,
0
,
ln
,
3



Ak
u
k
h
Au
f
:




t
x
u
t
x
u
t
x
t
k









,
,
2 3
3 1
3 8)
0

g
,
0
,
,
3



A
const
h
Au
f
:

 

t
x
t
x
x
u
t
t
x
t
x
u










,
,
3 2
,
9)
0

g
,
0
,
0
,
,
3 3









A
u
h
Au
f
:
x
t
u
t
u
x
x
u
t
u
t
x










,
,
3 1
,

10)
0

g
,
0
;
3
,
0
,
0
;
3
,
,





n
Am
k
mu
h
Au
f
n
k
:

 





t
x
t
x
t
k
n
u
u
k
n
n
k
x
k
k















,
,
3 2
3 1
3 5
3 3
2 11)
0

g
,
0
;
3
,
0
,
ln
,




k
A
u
p
h
Au
f
k
:


t
x
u
x
t
u
pt
kx
kt








,
,
2 2
12)
R
D
B
A
C
D
B
u
C
B
u
A
g
x
x







,
,
,
0
,
ln
,
R
q
p
q
pu
h
f






,
0
,
,
0

:
x
u
x
t
pt





,
,
13)
R
D
B
A
C
D
B
u
C
B
u
A
g
x
x







,
,
,
0
,
ln
,
R
q
n
kp
q
pu
h
n
ku
f






,
,
0
,
,
:
x
t
x
u
t
t
k
pn
q
x
k
n
u
t














 












,
,
2 1
2 2
1 14)
0
,


Ap
Ae
g
pu
,


R
B
B
u
h
B
u
f













,
,
0
,
)
(
,
1
:


x
t
u
x
t
B
u
t
x
t









,
,
)
(
2 1
2 1

15)
0
,


Ap
Ae
g
pu
,
R
m
k
m
ku
h
f






,
0
,
,
0

:
t
x
u
x
k
t





,
,
1 16)
0
,


Ap
Ae
g
pu
,
0
,
0






h
f
:
t
x
u
u
x
t
t
p
p
u
t
x
t

























,
,
,
3 1
3 1
3 1
3 2
3 1
1 1





Поділіться з Вашими друзьями:
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   34


База даних захищена авторським правом ©divovo.in.ua 2017
звернутися до адміністрації

войти | регистрация
    Головна сторінка


загрузить материал