Міністерство освіти І науки україни полтавський державний педагогічний університет




Сторінка3/34
Дата конвертації02.12.2016
Розмір5.09 Kb.
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   34

Полтавський державний педагогічний університет імені В.Г. Короленка, 15 травня 2008 р.
Отже, розривна функція sgn зображається у вигляді
)
(
2
sgn



D

2) Інтеграли Фруллані.
Нехай




,
0
C
f
, а інтеграл


A
dx
x
x
f
)
(
збігається
0

A
. Тоді виконується рівність
a
b
f
dx
x
bx
f
ax
f
ln
)
0
(
)
(
)
(
0





)
0
,
0
(


b
a
, яку називають формулою Фруллані. Для її доведення розглянемо функцію


R
A
F



,
, деяка за умовою має скінченну границю
)
(
lim
x
F
B
x



. Тоді маємо
)
(
)
(
)
(
Aa
F
B
dt
t
t
f
dx
x
ax
f
x
Aa
A






,
)
(
)
(
)
(
Ab
F
B
dt
t
t
f
dx
x
bx
f
x
Ab
A













Ab
Aa
A
dx
x
x
f
Aa
F
Ab
F
dx
x
bx
f
ax
f
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
Згідно з першою теоремою про середнє дістанемо
a
b
f
Aa
x
Ab
x
x
f
dx
x
x
f
Ab
Aa
ln
)
(
ln
)
(
)
(







, )
(
a
b
A
Aa





, 1 Оскільки
f
– неперервна функція, то
)
0
(
)
(
lim
0
f
f
A




, внаслідок чого існує
a
b
f
dx
x
bx
f
ax
f
dx
x
bx
f
ax
f
A
A
ln
)
0
(
)
(
)
(
)
(
)
(
lim
0 0











. Якщо існує
)
(
)
(
lim




f
x
f
x
,
R
f

)
(
, то формула Фруллані набуває вигляду
a
b
f
f
dx
x
bx
f
ax
f
A
ln
))
(
)
0
(
(
)
(
)
(






. Дійсно, інтегруючи на сегменті


B
A,
)
0
(

A
і здійснивши граничний перехід, матимемо
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ( )
( ))ln
B
Ba
Bb
Ab
Bb
A
Aa
Ab
Aa
Ba
f ax
f bx
f t
f t
f t
f t
b
dx
dt
dt
dt
dt
f
f
x
t
t
t
t
a














))
(
(
1
a
b
a
A





,
))
(
(
2
a
b
a
B





, 1 0


j

,
2
,
1

j
a
b
f
f
dx
x
bx
f
ax
f
dx
x
bx
f
ax
f
B
A
B
A
ln
))
(
)
0
(
(
)
(
)
(
)
(
)
(
lim
0 0















Література
1. Ляшко І.І., Ємельянов В.Ф., Боярчук О.К. Математичний аналіз. – Ч. – К Вища школа, 1993. – С. 26–45.
2. Ільїн В.О. Позняк Е.Г. Основи математичного аналізу. – Ч. – М Наука, 1973. – С. 273–284.


Звітна наукова конференція викладачів, аспірантів, магістрантів і студентів фізико-математичного факультету
21
Оцінка знизу найкращих наближень періодичної
сумовної функції однієї змінної та спряженої до неї
через коефiцiєнти Фур’є
Тетяна Кононович
Нехай
L
– простiр
2

-перiодичних сумовних на
[
]
 
 
функцiй
( )
f x
з нормою
( )
( )
f x
f x dx






Позначимо через
n
T
– множину тригонометричних поліномів вигляду
0 1
( )
(
cos sin )
2
n
n
k
k
k
A
t x
A
kx B
kx






де
k
k
A B

довільні дійсні числа,
0 1
n
  
а через
( )
n
E f
– величину найкращого наближення функцiї
f
L

тригонометричними полiномами
n
n
t
T
 

( ) inf
( )
( )
n
n
n
n
t T
E f
f x
t x




Символом
C
позначимо додатнi сталi, як можуть бути неоднаковими в рiзних формулах. Для функцій простору
L
вiдомо ряд виражених через коефіцієнти
Фур’є оцінок знизу величини
( )
n
E f
. Так, А.А.Конюшков [1, теорема 3] довів, що для функцiї
g L

з рядом Фур’є
1
sin
k
k
b
kx




коефiцiєнти якого невiд’ємні, справджується оцiнка
2 2
( )
1 2
k
n
k
n
b
E g
Cn
n
k



   

Твердження має місце і для функцiй простору
L
, ряд Фур’є яких містить лише косинуси (див. там же. Результат А.А. Конюшкова було покращено В.Е. Гейтом [2, лема 2], який для довільної
2

–перiодичної сумовної функції
( )
f x
, що має ряд
Фур’є
0 1
( cos sin )
2
k
k
k
a
a
kx b
kx






одержав нерівність
1 1
( )
0 1
k
n
k n
b
E f
n
C
k

 

   

де
1
sin supsup
n
x
k n
kx
C
k

 

 

Розглядатимемо функції
f
L

, для яких спряжена


Полтавський державний педагогічний університет імені В.Г. Короленка, 15 травня 2008 р.

22 0
1
( )
( (
)
(
))
2 2
t
f x
f x t
f x t
dt


 
 



0 1
lim ( (
)
(
))
2 2
t
f x t
f x t
dt






 
 


[3, c. 519] також є сумовною. Встановимо таку оцінку знизу суми найкращих наближень функції
f
та спряженої до неї
f
, яка б під знаками суми містила модулі коефiцiєнтів Фур’є.
Теорема
.
Якщо
f
L f
L
   
то



1 1
( )
( )
max
n
n
n
n
E f
E f
C
a
b







2
[ ]
2 1
[ ] 1 1
1 1
[ ]
n
2
n
n
k
k
k
k
n
k n
k n
a
b
a
b
k
k


 
 















(1) де
0 1 ;
k
k
n
a b
   
– коефiцiєнти Фур’є функції
( )
f x
Доведення теореми ґрунтується на встановленому нами результаті, який наводимо без доведення.
Лема
.
Якщо
f
L f
L
   
то
0 1
2 1
k
k
k
a
b
a
f
f
k









(2) де
k
k
a b

– коефiцiєнти Фур’є функції
( )
f x

Доведення теореми
.
Нехай
2
[ ]
(
)
n
n
V
f x

– сума Валле-Пуссена вигляду
2 2
[ ]
[ ]
( )
( )
0 0
1
(
)
( cos sin )
2
n
n
n
n
n
n
k
k
k
k
a
V
f x
a
kx b
kx




 




де
( )
1 якщо 0 якщо ]
[ ] 1 2
2
n
k
k n
k n
n
n
k n
n


  



  

   




Тоді
2
[ ]
( )
( )
(
)
n
n
n
E f
C f x
V
f x





2 2
[ ]
[ ]
( )
( )
(
)
( )
(
)
n
n
n
n
n
E f
C f x
V
f x
f x
V
f x









Звітна наукова конференція викладачів, аспірантів, магістрантів і студентів фізико-математичного факультету
23
Додавши почленно дві останні нерівності та врахувавши оцінку (2), одержуємо
0 1
( )
( )
2 1
k
k
n
n
k
E f
E f
Ñ
k


















(7) де
k
k
 

– коефіцієнти Фур’є функцiї
2
[ ]
( )
(
)
n
n
f x
V
f x

 
Враховуючи, що
0 якщо якщо ]
[ ] 1 якщо ] 1 2
k
k
k
k n
k n
n
a
n
k n
n
n
a
n
k




  





   








  

оцінимо знизу суму
2 2
[ ]
0 2
1 1
[ ] 1 2
1
[ ] 1 1
1
n
n
n
k
k
k
n
k
k n
k n
a
a
k n
k
k
k






 
 














2 2
[ ]
2 1
[ ] 1 1
[ ] 1 1
1
n
n
n
k
k
n
k n
k n
a
a
k
k


 
 









2 2
[ ]
2 1
[ ] 1 1
[ ]
1 1
n
n
n
k
k
n
k n
k n
a
a
C
k
k


 
 

















Оцінивши таким способом всю суму в правій частині (7), одержимо нерівність
2 2
[ ]
2 1
[ ] 1 1
( )
( )
[ ]
1 1
n
n
n
k
k
k
k
n
n
n
k n
k n
a
b
a
b
E f
E f
C
k
k


 
 





















яка разом із співвідношенням


1 1
( )
max
n
n
n
E f
C
a
b




, справедливим для будь-якої функції
f
L

з коефiцiєнтами Фур’є
k
k
a b

, доводить теорему.

Література
1. Конюшков А.А. Наилучшие приближения тригонометрическими полиномами и коэффициенты Фурье // Мат. сб. – 1958. – Т. 44, № 1. – С. 53–84.
2. Гейт В.Э. О структурных и конструктивных свойствах синуси косинус-рядов с монотонной последовательностью коэффициентов Фурье // Изв. вузов. Сер. мат. –
1969. – Т. 86, № 7. – С. 39–47.
3. Бари Н.К. Тригонометрические ряды. – М Физматгиз, 1961. – 936 с.


Полтавський державний педагогічний університет імені В.Г. Короленка, 15 травня 2008 р.

24
Історичний розвиток теорії стійкості Ляпунова
Катерина Лапкo

Однією із важливих задач математичного аналізує дослідження властивостей функцій – розв’язків диференціальних рівнянь. Якісна теорія диференціальних рівнянь була одночасно створена Пуанкаре і Ляпуновим. Задача, яка була поставлена Пуанкаре, полягала у дослідженні загального ходу сімейства інтегральних кривих диференціального рівняння
( , )
y
f x y
 
або системи
1
( , )
dx
x y
dy


і
2
( , )
dx
x y
dy


на всій площині тільки за властивостями функцій у правій частині, без інтегрування рівняння. В подальшому Пуанкаре займався і загальною проблемою стійкості так званих динамічних систем вигляду
1 2
( , ,..., )
k
k
n
dx
F x x
x
dt

(
1,2,3,..., ).
k
n

Але ряд положень Пуанкаре обґрунтував недосить строго. Уроці Чебишев запропонував Ляпунову таку задачу дослідити,
чи існують фігури рівноваги однорідної рідини, що обертається, відмінні
від еліпсоїдних. Варто звернути увагу, що ця задача є досить нелегкою ідо того часу уже мала довгу історію [3]. Вперше це питання розглядалося Ньютоном. Він встановив, що однією із форм рівноваги однорідної речовини, яка обертається з постійною кутовою швидкістю навколо осі і зберігає своє положення в просторі, є еліпсоїд обертання, сплюснутий у полюсах. В 1834 році Якобі довів, що однією із форм рівноваги однорідної рідини, що обертається є звичайний трьохосьовий еліпсоїд з визначеним співвідношенням між довжинами його півосей. Ці еліпсоїди отримали назву еліпсоїдів Якобі. ОМ. Ляпунов розглядає фігури рівноваги, близькі до еліпсоїдів
Якобі, які обертаються з постійною кутовою швидкістю

навколо нерухомої осі і в положенні рівноваги її поверхня має рівняння
( , , ) 0
f x y z
 . Він вводить величину

– відхилення фігури від еліпсоїда
Якобі в поточній точці P еліпсоїда. Після перетворень Ляпунов зводить рівняння для

до такої форми
1 4
d
R
W c
D
 


 




, де R – стала, яка залежить від півосей еліпсоїда Якобі, D – відстань між поточною точкою на еліпсоїді і фіксованою точкою, у якій знаходиться

,
d

 – елемент одиничної сфери, W є ряд по степеням малого параметра



Звітна наукова конференція викладачів, аспірантів, магістрантів і студентів фізико-математичного факультету
25
О.М. Ляпунов знаходить розв’язок

у формі ряду
1
n
n
n

 




за степенями параметра

з невідомими коефіцієнтами
n

. Оскільки W залежить від

, то після підстановки в неї ряду для

він отримав остаточно
*
1
k
k
k
W
W





*
k
W
залежить лише від попередніх наближень
1

,
2

, ...,
1
k


, і не залежить від
k

. Після підстановки ряду для

в основне рівняння, і прирівнявши коефіцієнти при
n

зліва і справа, він отримав рівняння для визначення
n

вигляду
*
1 4
n
n
n
d
R
W
c
D
 








, де R залежить від півосей вихідного еліпсоїда Якобі. Таким чином, метод Ляпунова приводить до того, що розв’язок нелінійного інтегрального рівняння для

зводиться до розв’язку серії лінійних інтегральних рівнянь для
n

Якщо підставити ряд
( )
1
n
n
k
k
k
C L





, де
k
L
– функція Ляме, в рівняння для
n

, то для визначення коефіцієнтів
( )
n
k
C
отримаємо рівняння вигляду
( )
( )
,
n
n
k n k
k
T C
S

, де
( )
n
k
S
– відома величина. Розв’язність останнього рівняння залежить від
,
k n
T
, названого Ляпуновим коефіцієнтом стійкості. Результат Ляпунова можна сформулювати так.
Якщо півосі вихідного
еліпсоїда такі, що відповідні значення параметра
R
не співпадають ні з
одним значенням ядра
1
D
, тоне існує фігур рівноваги, близьких до цього
еліпсоїда і відмінних від еліпсоїдних
[1].
Література
1. Гаврилов И. И. Методы теории обыкновенных дифференциальных уравнений. – М
Высшая школа, 1962. – 314 с.
2. Матвеев НМ. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. – М Высшая школа, 1963. – 546 с.
3. Степанов ВВ. Курс дифференциальных уравнений. – М ГИТТЛ, 1950. – 468 с.


Полтавський державний педагогічний університет імені В.Г. Короленка, 15 травня 2008 р.

26
Симетрійний аналіз багатовимірного рівняння
Шредінгера
Наталія Лисенко
Диференціальні рівняння, що описують фізичні процеси, мають, як правило, широку симетрію. Наявність симетрії є одним з критеріїв вибору оптимальної математичної моделі. На сьогоднішній день дослідження симетрії лінійних і нелінійних рівнянь з частинними похідними є актуальним і може бути використане для розв’язання конкретних задач, які описуються диференціальними рівняннями. Розглянемо диференціальне рівняння
)
,
,
(
*




x
V
k
t
i





,

(1) де V – довільна диференційована функція, ψ = ψ(t, x),
1 2
( , ,..., )
n
x
x x
x

, k – ненульове дійсне число. Це рівняння при n = 3 і V = 0 перетворюється у вільне рівняння Шредінгера. Уданій роботі рівняння (1) досліджується для випадків V = ψF(|ψ|), де F – довільна гладка функція, V = λψ|ψ|
q
, λ – довільне комплексне число, а q – дійсне число, і V = λψ|ψ|
n
/
4
. Для кожного із зазначених випадків ми виділяємо в алгебрі інваріантості рівняння (1) всі максимальні підалгебри, редукція за якими приводить до звичайних диференціальних рівнянь. За розв’язками редукованих рівнянь знайдені деякі точні розв’язки рівняння (1). Зупинимось на випадку V = ψF(|ψ|), де F – довільна гладка функція. Рівняння (1) інваріантне щодо узагальненої розширеної класичної алгебри Галілея
)
,
1
(
n
G
A
, базис якої становлять такі векторні поля
a
a
P


,
a
b
b
b
ab
x
x
J




,


*
*
2










ki
x
t
G
a
a
a
,
t
T


,


*
*
2 1








ki
M
,
)
,...,
2
,
1
,
(
n
b
a


Вони зв'язані наступними комутаційними співвідношеннями


ac
bd
bd
ac
ad
bc
bc
ad
cd
ab
J
J
J
J
J
J








,
,

 

0
,
,


b
a
b
a
G
G
P
P
,


b
ac
c
ab
bc
a
P
P
J
P




,
,


b
ac
c
ab
bc
a
G
G
J
G




,
,


0
,

ab
J
T
,


0
,

a
P
T
,


a
a
P
G
T


,
,


M
P
G
ab
b
a


,
, де M – центральний елемент,
0

ab

, якщо
1
,


ab
b
a

, якщо
b
a

. Алгебра
)
,
1
(
n
G
A
містить ортогональну алгебру
 
n
n
J
J
n
AO
,
1 12
,...,


і розширену ізохронну алгебру Галілея
 
 
n
AO
G
G
P
P
M
n
AO
n
n


,...,
,
,...,
,
1 Для кожної з цих підалгебр знайдено повну систему інваріантів, побудовано відповідний анзац і проведено симетрійну редукцію. Зупинимося на конкретних прикладах. Алгебра
 
n
AE
Повна система інваріантів
t




Звітна наукова конференція викладачів, аспірантів, магістрантів і студентів фізико-математичного факультету
27
На основі системи інваріантів будуємо анзац: Редуковане диференціальне рівняння має вигляд
 
0






F
i
Алгебра






m
n
AE
d
d
d
p
p
p










,
,
1
,
,
1 1
1 1
,


n
m
m
d
p


 1
;
Повна система інваріантів складається з одного інваріанта
t


Відповідний анзац:
 





















p
j
j
d
d
t
x
x
k
i
j
j
1 2
2 Маємо редуковане диференціальне рівняння
 
0 2
1 1









p
j
j
j
j
F
i
d
d






Алгебра


2
,
12




n
AE
M
J
M
T


0
;
,





R
Повна система інваріантів має вигляд
2 2
2 1
x
x



Будуємо анзац:
 














2 1
2 2
exp
x
x
arctg
k
i
t
k
i
Редуковане рівняння
 
0 4
2 4
4 1
2























F
k
k
k
k
Алгебра


1



n
AE
M
T

Маємо таку систему інваріантів
1
x


Відповідний анзац має вигляд
 











t
k
i
2
exp
Редуковане диференціальне рівняння
 
0 2









F
k
k
Алгебра


1 1



n
AE
G
T

Повна система інваріантів
1 2
2x
t




Анзац:
 













1 3
2 2
6
exp
x
k
t
i
t
k
i
Редуковане диференціальне рівняння має вигляд
 
0 2
2 4













F
k
mk
k
На основі розв’язків редукованих рівнянь будуємо інваріантні розв’язки рівняння Шредінгера.


Поділіться з Вашими друзьями:
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   34


База даних захищена авторським правом ©divovo.in.ua 2017
звернутися до адміністрації

войти | регистрация
    Головна сторінка


загрузить материал