Міністерство освіти І науки україни полтавський державний педагогічний університет




Сторінка2/34
Дата конвертації02.12.2016
Розмір5.09 Kb.
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   34

Звітна наукова конференція викладачів, аспірантів, магістрантів і студентів фізико-математичного факультету
13
Доведення. Оскільки для будь-якої точки
u
x R

має місце умова
 
 
k
k
x
x



, то рефлексивність відношення

має місце. Симетричність випливає безпосередньо з означення. Для доведення твердження залишається показати транзитивність відношення. Нехай для точок
1 2
3
, ,
u
x x x
R

виконуються співвідношення
1 2
x
x
;
,
2 3
x
x
;
. Без порушення загальності можемо вважати, що
1 3
x
x
f
Припустимо, що
1 3
x
x
;
, тоді
 
 
1 3
k
k
x
x



, причому існує таке
k
z E

, що
 
 
1 3
k
k
x
z
x


f f
. Для точок
z
і
2
x справджується одне із співвідношень
 
2
k
z
x

f або
 
2
k
x
z

f
. У першому випадку маємо
 
 
1 2
k
k
x
z
x


f f
, що суперечить еквівалентності точок
1
x та
2
x ; у другому випадку внаслідок співвідношення
 
 
2 3
k
k
x
z
x


f f одержуємо суперечність з тим фактом, що
2 3
x
x
;
. Таким чином, припущення про нееквівалентність точок
1
x та
3
x неправильне і відношення

є транзитивним. Твердження доведене. Із твердження 1 випливає, що відношення

розбиває многогранник
u
R

M
на класи еквівалентності. Означення 2. Елементи фактор-множини за еквівалентністю називатимемо класами. Яків, введемо поняття комбінаторних і некомбінаторних класів. Із означення 1 випливає, що кожен елемент


1
,...,
k
k
x
x
x
E


визначає окремий клас еквівалентності. Елементами цього класу є всі точки многогранника M вигляду


1 1
,..., ,
,...,
k
k
u
x
x x
x

. Решта класів еквівалентності не містять точок, перші
k
координат яких утворюють елемент множини
k
E
Означення 3. клас
V
називається комбінаторним, якщо для будь- якого
x V
 має місце
 
k
k
x
E


; в іншому випадку клас називається некомбінаторним. Означення 4. Говоритимемо, що клас
V
лексикографічно більше класу
V
тоді й тільки тоді, коли
x V
 
x V


 
виконується умова
x x
f
Той факт, що клас
V
лексикографічно більше класу
V
, позначатимемо
V V
f
Твердження 2. Нехай
,
V V
F
 , причому V V

, і для деяких x V
 ,
x V


 виконується співвідношення
x x
f
Тоді клас
V лексикографічно більше класу V .


Полтавський державний педагогічний університет імені В.Г. Короленка, 15 травня 2008 р.
Доведення. Нехай y та y – довільні представники відповідно класів V та V . Покажемо, що y
y
f
. Оскільки x та x належать різним класам, то x
x
;
. Тоді знайдеться точка
k
z E

, що
 
 
k
k
x
z
x



f Оскільки x y
;
, то
y z
f . Так само з x
y


;
випливає, що
z y
f
. Отже,
y z y
f f
, звідки y y
f
. Але рівність не може мати місця, оскільки y та y належать різним класам еквівалентності. Таким чином,
y
y
f
, а отже
V V
f
. Твердження доведено. Нехай ,
x x
M ,
x x
;
, причому
 
k
l
l
x
E


. Позначимо через s першу різну координату точок x та
x
. Припустимо, що s l
 . Якщо
s
s
x
x
 , то з властивостей множини
k
E випливає, що існує точка
k
x
E

така, що
 
k
x
x


f
і
 
 
l
l
x
x




. Тоді
s
s
s
x
x
x
 
 , причому s перша різна координата точок x та x . Таким чином,
 
k
x
x

 f
. Але в такому випадку точка
k
x
E

задовольняє співвідношення
 
 
k
k
x
x
x



f f
, що суперечить тому, що
x x
;
. Якщо
s
s
x
x
 , то для точки
k
x
E

, для якої
 
k
x
x


p
і
 
 
l
l
x
x




, маємо
s
s
s
x
x
x
 
 . Отже,
 
k
x
x

 p
і x x
; внаслідок співвідношення
 
 
k
k
x
x
x



f f
. Таким чином, s l
 і
 
 
l
l
x
x



. Також легко бачити, що коли
 
k
l
l
x
E


то і
 
k
l
l
x
E


. Це означає, щонайменше число

таке, що
 
k
x
E




, є характеристикою класу з представником x . Означення 5. Рангом класу V з представником


1 2
, ,...,
k
x
x x
x

називається найменше число

таке, що
 
x
E




Розглянуте в статті відношення може бути покладене в основу алгоритму розв’язування частково комбінаторних задач евклідової комбінаторної оптимізації.
Література
1. Емец О.А., Барболина Т.Н. Решение задач евклидовой комбинаторной оптимизации методом построения лексикографической эквивалентности // Кибернетика и системный анализ. – 2004. – №5. – С. 115–125.
2. Емец О.А., Барболина Т.Н. Классы лексикографической эквивалентности в евклидовой комбинаторной оптимизации на размещениях // Дискретная математика.
– 2007. – Т, вып. 1. – Стоян Ю.Г., Ємець О.О. Теорія і методи евклідової комбінаторної оптимізації. – Київ Інститут системних досліджень освіти, 1993. – 188 с.


Звітна наукова конференція викладачів, аспірантів, магістрантів і студентів фізико-математичного факультету
15
Про групову властивість і симетрійну редукцію
рівняння Ламе
Іван Бойко
Розглядається рівняння Ламе


2 2
0
u
Lu
grad divu
u
t



 
  

, (1) де


, , ,
{ , , }
u u t x y z
p q r


– вектор зміщення,

– стала. Рівняння (1) описує рух ізотропного пружного середовища і є основним об’єктом класичної теорії пружності. Для дослідження симетрійних властивостей рівняння (1) використаємо метод Лі-Овсяннікова [1]. Згідно з цим методом інфінітезимальний оператор шукаємо у вигляді
1 2
3 1
2 3
t
x
y
z
p
q
r
 






              . Знайдемо друге продовження оператора

. Далі з критерію інваріантності многовиду, який задає рівняння (1), знайдемо систему визначальних рівнянь. Розв’язавши цю систему, прийдемо до такого результату [2].
Твердження. Максимальною алгеброю інваріантності системи (1) є вимірна алгебра L , яку породжують оператори
1 2
3 1
2 3
,
,
,
,
,
,
,
x
y
z
t
z
y
q
p
x
z
r
q
y
x
p
r
t
x
y
z
X
X
X
T
Z
y
z
p
q
Z
z
x
q
r
Z
x
y
r
p
D t
x
y
z
 
 
 
 
       
       
       
       
Проведемо процедуру симетрійної редукції рівнянь (1) за всіма нееквівалентними підалгебрами алгебри L розмірності 1. Результати занесемо до таблиці.
Підалгебра Повна система інваріантів
Анзаци
3
Z
1 2
2 2
3 4
2 2
5 6
,
t
z
x
y
q
p
r
r
x
arctg
arctg
p
y













 
 


 
 
 
 






1 2
3 1
2 3
1 2
3
, ,
cos
, ,
sin
, ,
p
a
r
a
q
   
   
   



де


1 2
3
, ,
x
a
arctg
y
   
 


 
 


Полтавський державний педагогічний університет імені В.Г. Короленка, 15 травня 2008 р.

16 3
X
1 2
3 4
5 6
,
,
,
,
t
x
y
p
q
r


















1 2
3 1
2 3
1 2
3
, ,
, ,
, ,
p
q
r
   
   
   



D
1 2
3 4
5 6
,
,
,
,
x
y
z
t
t
t
p
q
r


















1 2
3 1
2 3
1 2
3
, ,
, ,
, ,
p
q
r
   
   
   



3 3
Z
X


2 2
1 2
3 2
2 4
5 6
,
1
,
1
t
x
y
x
arctg
z
y
q
p
r
r
arctg
z
p











 


 
 



 


 
 






1 2
3 1
2 3
1 2
3
, ,
cos
, ,
sin
, ,
p
a
r
a
q
   
   
   



де


1 2
3 1
, ,
a
z
   



3 0
Z
X


2 2
1 2
3 2
2 4
5 6
1
,
,
,
1
x
z
x
y
arctg
t
y
r
p
q
r
arctg
t
p








 





 
 



 


 
 






1 2
3 1
2 3
1 2
3
, ,
cos
, ,
sin
, ,
p
a
r
a
q
   
   
   



де


1 2
3 1
, ,
a
t
   



3 3
Z
X


 
1 2
3 2
2 4
5 6
,
,
,
ln
x
y
z
t
t
t
q
p
r
r
arctg
t
p













 


 
 






1 2
3 1
2 3
1 2
3
, ,
cos
, ,
sin
, ,
p
a
r
a
q
   
   
   



де


 
1 2
3
, ,
ln
a
t
   




Література
1. Овсянников Л.В. Групповой анализ дифференциальных уравнений. – М Наука,
1978. – 400 с.
2. Чиркунов Ю.А. Групповое свойство уравнений Ламе // Динамика сплошной среды.
– Вып. 14. – Новосибирск, 1973. – С. 128–130.


Звітна наукова конференція викладачів, аспірантів, магістрантів і студентів фізико-математичного факультету
17
Теоретичні основи розв’язування методом Біла задачі
квадратичного програмування

Юлія Бровко

Розглядається задача квадратичного програмування вигляду


'
'
max max
,
,
0
Z
C X
X DX
AX
B X




, де квадратична форма від’ємно визначена, тобто функція Z угнута. Для розв’язування такої задачі можна використати метод Біла, який є узагальненням симплексного методу лінійного програмування. Тут вихідним є будь-який базисний допустимий розв’язком системи обмежень. Припустимо, що систему рівнянь вдалося розв'язати відносно m перших змінних
 
 
1 1
0 0
1
,
1,2,..., ;
0
n
i
i
ij
j
i
j m
x
b
d x i
m b
 





(1) Останній вираз дозволяє представити
Z
як функцію тільки вільних змінних


 
 
 
1 1
1 1
2 00 0
1 1
1
, ,...,
2
n
n
n
n
j
j
hj
h j
j m
h m
j m
Z x x
x
C
c x
c x x
 
   





 
 
 
 
 
 
 
 


1 1
1 1
1 1
1 00 0
0 00 0,
1 1
0,
1 1
1
(
) 1
(
)
1
n
n
n
j
j
h
hj
j
h
m
m
n n
j m
h m
j m
C
c x
c
c x x
C
C
x
C x


 
 
 


 



 
 



 
 
 
 
 
 
1 1
1 1
1 1
1,0 1,
1 1
1,
1
,0
,
1 1
,
(
)
... (
)
m
m
m
m
m
n n
m
n
n m
m
n n n
n
C
C
x
C
x
x
C
C
x
C x
x










 

 

 

, де
 
 
1 1
hj
jh
C
C

для всіх h і
j
Розглянемо випадок, коли залежна змінна, наприклад
1
x , перетворюється в нуль раніше, ніж
1
m
Z
x



. За другий розв’язок вибираємо точку, в якій перетворюється в нуль змінна
1
x
. Значення змінних
2 3
1
, ,....,
m
x x
x

визначаються однозначно.
 
 
 
 
 
 
 
 
1 1
2 2
2 1
10 1
1 10 11 1
1 1
1 1
2 2
11 11 11 1
n
n
j
m
j
j
j
j m
j m
b
x
x
x
b
x
x







 
 
 







(2) Використовуючи цей вираз, виключимо із інших рівнянь (1) змінну
1
m
x

. В результаті отримаємо разом знову систему
 
 
 
2 2
2
,0
,1 1
2
,
2,3,..., ,
1
n
i
i
i
ij
j
j m
x
b
x
x i
m m


 






(3)
 
 
1 1
1 10 1
1 1
1 2
n
j
j
j m
m
Z
u
C
C x
x
 







. (4)


Полтавський державний педагогічний університет імені В.Г. Короленка, 15 травня 2008 р.
Задругу точку вданому випадку беремо точку, в якій
1
u
, а також старі незалежні змінні, крім
1
m
x

, дорівнюють нулю. На основі співвідношення (4) отримуємо нове співвідношення
 
 
 
 
 
 
 
 
1 1
2 2
2 1
10 1
1 1,0 1,1 1 1,
1 1
1 2
2 11 11 11 1
n
n
j
m
j
m
m
m
j
j
j m
j m
C
C
x
u
x
b
u
x
C
C
C






 
 
 







(5) За допомогою цієї формули перетворюємо вираз для
Z
та інших залежних змінних. В результаті число базисних змінних зросло на 1. Від другої точки переходимо до третьої і т.д. Для спрощення обчислень значення
 
 
 
,0
,
,
,
,
k
k
k
i
h j
h j
b
C

для кожної ітераційної точки представляють у вигляді таблиці, у верхній частині якої записують коефіцієнти системи (1). До них додають рядки, які відповідають обмеженим познаку змінним, які не входять до базису. В нижній частині таблиці записують коефіцієнти функції
Z
, представлені у вигляді (1). Сформулюємо правила переходу від однієї таблиці до іншої. Якщо елементи першого рядка (без першого елемента, які знаходяться на перетині з
u
-ми стовпцями, дорівнюють нулю, а елементи, які знаходяться на перетині з
x
-ми стовпцями, недодатні, то розв’язок оптимальний. Якщо елемент першого рядка, який знаходиться на перетині з
u
-м стовпцем, не дорівнює нулю, то вибираємо стовпець як напрямний. Якщо
u
-і стовпці відсутні або в першому рядку нижньої частини на перетині з ними знаходяться нулі, то напрямним вибираємо стовпець, який має на перетині зданим рядком додатній елемент. Ділимо елемент
 
,
k
o p
C
, вибраний у відповідності з кроком 1, на
 
,
k
p p
C
(
 
,
0
k
p p
C
 ). Напрямним рядком є рядок, який дає мінімум співвідношення
 
 
,
,
k
i o
k
i p
b

(
 
 
,
,
0
k
k
i p
p p
C



). Якщо напрямний рядок знаходиться у верхній половині таблиці, то в проміжній таблиці на місці змінної
p
x
, записують змінну, якій відповідає напрямний рядок. Елементи напрямного стовпця проміжної таблиці одержуються діленням елементів останнього на напрямний елемент. Елементи напрямного рядка в проміжній таблиці дорівнюють нулю, крім напрямного елемента. Інші елементи проміжної таблиці одержують за правилом, аналогічним симплексному методу.
Література
1. Дехтяров Ю.І. Дослідження операцій. – Мс. Морозов ВВ, Сухарєв А.Г., Федоров ВВ. Дослідження операцій в задачах та вправах. – Мс

Звітна наукова конференція викладачів, аспірантів, магістрантів і студентів фізико-математичного факультету
19
Деякі важливі інтеграли, залежні від параметра
Мар’яна Кіприч
У даному повідомленні приділимо увагу вивченню інтегралів
Діріхле, Фруллані, які широко застосовуються при вивченні багатьох питань теорії і практики.
1)
Інтеграл Діріхле
. Невласний інтеграл



0
sin
)
(
dx
x
x
D


,
R


, (1) називають інтегралом Діріхле. Якщо при
0


зробимо підстановку
t
x


, то побачимо, що інтеграл (1) збігається за ознакою Діріхле для невласних інтегралів. Якщо
0


, то
0
)
0
(

D
. Отже,
)
(

D
існує
R



. Для його обчислення розглянемо інтеграл
0
sin
( , )
x
x
B
e
dx
x


 




,
R


,

R

, (2) Оскільки функція
R
R
R
f





, де sin
, якщо 0,
( , )
, якщо 0,
x
x
e
x
f x
x
x








 



неперервна на множині


R
R
, а інтеграл
)
,
(


B
збігається рівномірно по параметру

на

R (за ознакою Абеля), то функція
B
неперервна по параметру

і тому
)
0
,
(
)
(




B
D
. Нехай
0


. Тоді функція
( , )
cos
x
x
e
x




a
,
R
R
x



)
,
(

неперервна, а інтеграл




0
cos
)
,
(
xdx
e
B
x




збігається рівномірно по параметру

за ознакою
Вейєрштрасса, оскільки
R



x
x
e
x
e






cos
і
0 1
x
e
dx





 

. Функція
B
диференційовна по параметру

і при цьому






0
cos
)
,
(
xdx
e
B
x





,
R


, 0


Проінтегрувавши, дістанемо
2 2
)
,
(









B
, 0


, звідки знаходимо







arctg
t
dt
B




0 2
2
)
,
(
,




sgn
2
)
0
,
(
)
(


B
D



Поділіться з Вашими друзьями:
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   34


База даних захищена авторським правом ©divovo.in.ua 2017
звернутися до адміністрації

войти | регистрация
    Головна сторінка


загрузить материал