Методичні вказівки до виконання лабораторних робіт з дисципліни «Теорія ймовірностей І математична статистика»




Сторінка1/14
Дата конвертації27.03.2017
Розмір5.01 Kb.
ТипМетодичні вказівки
  1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   14


МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ
НАЦІОНАЛЬНИЙ ТЕХНІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ УКРАЇНИ
«КИЇВСЬКИЙ ПОЛІТЕХНІЧНИЙ ІНСТИТУТ»




МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ

до виконання лабораторних робіт з дисципліни
«Теорія ймовірностей і математична статистика»

для напряму підготовки 6.030601 «Менеджмент
»

спеціальності 7.03060101
«Менеджмент організацій і адміністрування»










Київ – 2015



Методичні вказівки до виконання лабораторних робіт (комп’ютерного практикуму) з дисципліни «Теорія ймовірностей і математична статистика» для студентів напряму підготовки 6.030601 «Менеджмент» спеціальності
«Менеджмент організацій і адміністрування» для студ. Видавн.-полігр. ін.-ту /
Укл. О.І. Кушлик-Дивульська, Б.Р. Кушлик − К.: НТУУ «КПІ». − 2015. – 161 с.


Рекомендовано Вченою радою
Фізико-математичного факультету НТУУ «КПІ»
(Протокол № 8 від 24 листопада 2015 р.)


Н а в ч а л ь н е в и д а н н я
МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ до виконання лабораторних робіт (комп’ютерного практикуму) з дисципліни
«Теорія ймовірностей і математична статистика»
для напряму підготовки 6.030601
«Менеджмент»
спеціальності
«
Менеджмент організацій і адміністрування
»
для студентів Видавничо-поліграфічного інституту


Укладачі:



Кушлик-Дивульська Ольга Іванівна




Кушлик Богдан Ростиславович
Відповідальний редактор
С. Д. Івасишен, д-р фіз.-мат. наук, проф.

Рецензент
А.Б. Ільєнко, канд. фіз.-мат. наук, доц.





Анотація
Наведено перелік лабораторних робіт, які відповідають навчальній програмі дисципліни «Теорія ймовірностей і математична статистика» напряму підготовки
«Менеджмент». Для кожної лабораторної роботи розглянуто теоретичний матеріал, приклади розв’язання основних задач за допомогою теоретичної бази та надано
інструкції щодо застосування програмного забезпечення пакету Microsoft Excel.
Наведено перелік основних теоретичних питань вказаної теми та підібрано достатній масив завдань для індивідуального виконання лабораторних робіт. Подано необхідний довідковий матеріал.
Для студентів економічних, технічних спеціальностей ВПІ НТУУ «КПІ» та
інших факультетів, інститутів, що мають схожу програму підготовки.
Ключові слова: комбінаторика, ймовірність, незалежні випробування, дискретні випадкові величини, неперервні випадкові величини, математичне сподівання, дисперсія, закон розподілу, кореляція, вибірка, точкові та інтервальні оцінки, гіпотеза, критерій згоди.
Abstract
The list of laboratory works corresponding to the studying course of a discipline
―Probability theory and mathematical statistics‖ for ―Management‖ training program had been provided. Each laboratory work consists of theoretical material, examples of typical tasks solutions using the theory, and instructions for Microsoft Excel usage. The list of main theoretical points for the theme is provided and the knowledge base is gathered up as enough to do laboratory work individually. All needed references are also provided.
This work fits for the students of economic and technical specialties of Publishing and Printing Institute of the NTUU ―KPI‖, also fits for other faculties and institutes having the similar training program.
Key words: combinatorics, probability, independent tests, discrete random variables, continuous random values, mathematical expectations, dispersion, distribution law, correlation, selection, point and interval estimations, hypothesis, accordance criteria.
Аннотация
Дан перечень лабораторных работ, соответствующих научной программе дисциплины «Теория вероятностей и математическая статистика» направления подготовки «Менеджмент». Для каждой лабораторной работы рассмотрено теоретический материал, примеры решения основных задач с помощью теоретической базы, даны инструкции по применению программного обеспечения пакета Microsoft Excel. Дан перечень основных теоретических вопросов указанной темы и подобран достаточный массив заданий для индивидуального выполнения лабораторных работ. Подан необходимый справочный материал.
Для студентов экономических, технических специальностей ВПИ НТУУ
«КПИ» и других факультетов, институтов, которые имеют похожую программу подготовки.
Ключевые слова:
комбинаторика, вероятность, независимые испытания, дискретные случайные величины, непрерывные случайные величины, математическое ожидание, дисперсия, закон распределения, корреляция, выборка, точечные и интервальные оценки, гипотеза, критерий согласия.

4

Передмова
Теорія ймовірностей та математична статистика – математичні науки, які вивчають закономірності в масових випадкових явищах, і вони є складовою теоретичною основою викладання багатьох економічних, соціологічних та спеціальних дисциплін.
Мета комп’ютерного практикуму полягає в закріпленні знань, одержаних студентами під час вивчення дисципліни «Теорія ймовірності і математична статистика», їх застосуванні для вирішення конкретних практичних завдань із використанням теоретичних знань та на практиці можливостей пакету Microsoft
Excel. Виконання лабораторних робіт сприяє формуванню самостійності у аналізі проведених обчислень, дослідженні практичних задач, які є необхідною складовою підвищення технічного рівня підготовки студента. Зміст і структура методичних вказівок відображають новітні тенденції у питаннях навчання та підготовки кваліфікованих спеціалістів.
Лабораторні роботи (комп’ютерний практикум) дисципліни містять короткі теоретичні відомості, приклади розв’язування задач, також індивідуальні відповідні завдання та перелік основних теоретичних питань вказаної теми. Протокол практичної роботи оформлюється у вигляді роздрукованих сторінок формату А4 та електронного файлу.

Типова структура виконаної практичної роботи містить: титульний аркуш; основна частина (короткі теоретичні відомості та розв’язані задачі); додатки − виконані задачі за допомогою пакету Microsoft Excel із описанням.
Лабораторні роботи виконуються в 3-му семестрі стаціонарної форми навчання за програмою напряму підготовки 6.030601 «Менеджмент» освітньо-кваліфікаційного рівня бакалавр спеціальності
7.03060101
«Менеджмент організацій
і адміністрування». Ознайомлення, опрацювання за темами відповідних лабораторних робіт дає можливість застосовувати алгоритми Excel для практичного використовуваних статистичних задач, які є трудомісткими через значну кількість математичних обчислень. Тому дані вказівки розраховані на широку кількість користувачів, які мають доступ до програмного забезпечення і початкові необхідні знання теорії ймовірностей.
Методичні вказівки доповнюють навчальний посібник «Теорія ймовірності та математична статистика» [8], рекомендований Міністерством освіти і науки як навчальний посібник для студентів технічних та економічних спеціальностей вищих навчальних закладів.
Автори вдячні співробітникам кафедри математичної фізики, кафедри математичного аналізу та теорії ймовірності фізико-математичного факультету НТУУ
«КПІ» та всім читачам, що висловили свої побажання та зауваження. Також укладачі вдячні студентам груп економічної спеціальності Видавничо-поліграфічного
інституту за співпрацю в підготовці задач для лабораторних робіт.

5


Лабораторна робота № 1

Елементи комбінаторики. Класичне означення ймовірностей. Основні
теореми ймовірностей
Мета роботи: Вивчення можливостей пакету Microsoft Excel для розв'язання задач з теорії ймовірностей з використанням елементів комбінаторики, класичного означення ймовірностей та основних теорем ймовірностей.
Теоретичні відомості
Елементи комбінаторики
Як відомо, згідно з класичним означенням ймовірностей, щоб обчислити ймовірність тієї чи іншої випадкової події, необхідно вміти обчислити кількість
п усіх елементарних подій (розмір простору елементарних подій

) і число m
елементарних подій, які сприяють появі випадкової події.
У багатьох випадках для обчислення чисел n і m використовуються наступні елементи комбінаторики: перестановки, розміщення та комбінації,
які є окремим видом сполук елементів певної множини.
Сполуками називаються різні підмножини, утворені з елементів універса- льної множити (простору елементарних подій Ω), що відрізняються елементами або порядком цих елементів.
Для обчислення цих сполук в пакеті Excel вбудовані наступні функції:
ФАКТР, ЧИСЛКОМБ, ПЕРЕСТ, перші дві з яких знаходяться в категорії функцій математичні, а третя − статистичні.
Нехай М – множина, що містить п елементів.
Означення. Розміщенням із п елементів по k називають довільну впорядковану підмножину з k елементів із множини М.

6
Два розміщення вважаються різними не тільки тоді, коли складаються з різних елементів, але й тоді, коли вони складаються з однакових елементів, але відрізняються їхнім порядком.
Кількість розміщень із п елементів по k
)
(
n
k

позначають
k
n
A
і обчислюють за формулою
).
1
(
)
2
(
)
1
(
)!
(
!











k
n
n
n
n
k
n
n
A
k
n

(1.1)
Означення. Розміщенням з повтореннями з п елементів по k називають довільну впорядковану підмножину з k елементів із множини М (елементи не обов’язково різні).
Кількість розміщень із повтореннями з п елементів по k обчислюють за формулою:
k
k
n
n
A

(1.2)
Зауваження.
k
n
A
– це кількість способів, якими можна розкласти k різних предметів в п ящиків.
Означення. Розміщення із п елементів по п називаються
перестановками.
Різні перестановки відрізняються лише порядком елементів. Кількість перестановок з п елементів дорівнює добутку всіх натуральних чисел від 1 до п
!
2 1
n
n
P
n






(1.3)
Означення. Перестановками з повтореннями називають розміщення з
п елементів, які мають однотипні елементи.
Кількість різних перестановок з повторенням, які можна утворити з п елементів, серед яких є
1
k елементів першого типу,
2
k елементів другого типу,
…,
m
k
елементів m- того типу, дорівнює:
!
!
!
!
)
,
,
,
(
2 1
2 1
m
m
n
k
k
k
n
k
k
k
P






. (1.4)

7
Означення. Комбінацією (сполукою) з п елементів по k називають довільну підмножину з k елементів із множини М, яка відрізняється одна від одної хоча б одним елементом.
Порядок елементів у комбінаціях несуттєвий. Кількість комбінацій з п елементів по k
)
(
n
k

позначають
k
n
C та обчислюють за формулою:
)!
(
!
!
k
n
k
n
C
k
n



(1.5)
Означення. Комбінацією з повтореннями з п елементів по k називають довільну множину з k елементів із множини М (елементи не обов’язково різні).
Кількість комбінацій з повтореннями з п елементів по k обчислюють за формулою:
)!
1
(
!
)!
1
(
1








n
k
k
n
С
С
k
k
n
k
n
. (1.6)
Зауваження.
k
n
С
– це кількість способів, якими можна розкласти k
однакових предметів по п ящиках.
Значна кількість комбінаторних задач розв’язується з використанням двох основних правил комбінаторики: правила суми та правила добутку.
Принцип суми. Нехай
)
( A
n
,
)
(B
n
– кількості елементів скінченних неперетинних множин А та В відповідно. Тоді для множини
B
A
С


кількість елементів
)
(
)
(
)
(
B
n
A
n
C
n


. (1.7)
Принцип добутку. Нехай потрібно послідовно виконати k дій, причому першу дію можна виконати
1
n способом, після чого другу дію –
2
n способами і т.д. до

k
тої дії, яку можна виконати
k
n
способами. Тоді всі k дій можна виконати
k
n
n
n




2 1
способами.
Наведені вище правила можуть бути розповсюджені на довільне число сумісно здійснюваних виборів.

8
Розв’язуючи комбінаторну задачу, перш за все потрібно відповісти на запитання − з яким із основних понять в даній ситуації ми маємо справу? Для цього відповідаємо на два питання:
1.
Усі елементи множини використовуються чи ні? Якщо використовуються всі, то це перестановка.
2.
Важливий порядок розміщення елементів або ні? Якщо порядок важливий, то це розміщення. У протилежному випадку − комбінація.
Класичне означення ймовірностей
Означення. Ймовірністю події А називають відношення кількості результатів випробування, сприятливих для А, до кількості всіх рівноможливих і попарно несумісних наслідків випробування:
n
m
A
P

)
(
. (1.8)
Аксіоми ймовірності:
1. Для кожної події


A
справджується нерівність:
1
)
(
0


A
P
.
2. Імовірність достовірної події дорівнює 1:
1
)
(


P

3.Імовірність неможливої події дорівнює 0:
0
)
(


P

Приклади виконання завдань
Приклад 1. Скільки перестановок можна утворити із трьох букв А, Б та В?
Розв’язання. Можна утворити шість перестановок: АБВ, АВБ, ВАБ, ВБА,
БАВ, ВБА, якщо букви не повторюються, тоді маємо 3!=6.
Факторіал можна обчислити, використовуючи функцію
Excel
ФАКТР(число), яка активізується за допомогою команд
Вставка

Функція

Математические

ФАКТР.
Відкриється діалогове вікно (рис. 1.1),

9

Рис.1.1. Обчислення кількості перестановок де в поле «число» — потрібно вказати невід’ємне ціле число
 
n , факторіал якого обчислюється.
Приклад 2. Скільки перестановок можна скласти із трьох букв А, Б і В?
Розв’язання. Із трьох букв А, Б і В можна скласти шість перестановок по дві букви: АБ, БА, АВ, В А, БВ, ВБ. За формулою (1.1) знаходимо


6 1
3 3




k
n
A
Обчислення числа розміщень можна здійснити за допомогою функції
ПЕРЕСТ(число; число_выбранных), яку викликають за допомогою команд
Вставка

Функція

Статистические

ПЕРЕСТ.
Відкриється діалогове вікно (рис.1.2), де в поле «число» — необхідно вказати невід’ємне ціле число, яке задає кількість елементів ( )
n
, а в поле
«число_выбранных» − ціле число, що задає кількість елемент у кожному розміщенні ( )
k .

10

Рис. 1.2. Обчислення розміщень
Приклад 3. Скільки комбінацій по дві букви можна скласти із трьох букв
А, Б і В?
Розв’язання. Із трьох букв А, Б і В по дві букви, без врахування порядку розташування, можна скласти всього три комбінації: АБ, АВ, БВ. За формулою
(1.5) знаходимо:


3
!
2 3
!
2
!
3 2
3



C
Обчислення числа комбінацій можна обчислити за допомогою функції
ЧИСЛОКОМБ (число;число_выбранных) (рис. 1.3), яку викликають послідовністю команд
Вставка

Функція

Математические

ЧИСЛОКОМБ.
В діалоговому вікні «Аргументы функции» в поле «число» − вписують невід’ємне ціле число, яке задає кількість елементів ( )
n
, в поле
«число_выбранных» − ціле число, що задає кількість елементів у кожній комбінації ( ).
k


11

Рис. 1.3. Обчислення кількості комбінацій

Приклад 5. Маємо дев’ять однакових карток, на кожній з яких записано одну з цифр: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Навмання беруть чотири картки і розкладають в один рядок. Яка ймовірність того, що при цьому дістанемо 1, 9, 7, 3?
Розв’язання. Кількість елементарних подій множини

. буде
4 9
n
A

.
Кількість елементарних подій, що сприяють появі 1, 9, 7, 3(подія В) дорівнює одиниці (
1)
m

. Тоді
4 9
1 1
( )
3024
m
P B
n
A



.Число n обчислено за допомогою функції ПЕРЕСТ(9;4).

Приклад 7. У шухляді міститься 10 однотипних деталей, 6 із яких є стандартними, а решта − бракованими. Навмання із шухляди беруть чотири деталі. Обчислити ймовірність таких випадкових подій:
A
− усі чотири деталі виявляться стандартними;
B
− усі чотири деталі виявляться бракованими;
C − із чотирьох деталей виявляться дві стандартними і дві бракованими.

Розв’язання. Кількість усіх елементарних подій
4 10
ЧИСЛОКОМБ(10;4) 210
n
C



; кількість елементарних подій, що сприяють події
A
:

12 4
1 6
ЧИСЛОКОМБ(6;4) 15
m
C



; кількість елементарних подій, що сприяють події
B
:
4 2
4
ЧИСЛОКОМБ(4;4) 1
m
C



; кількість елементарних подій, що сприяють події С:
4 2
3 6
4
ЧИСЛОКОМБ(6;2) ЧИСЛОКОМБ(4;2) 15 6 90
m
C
C




  

Імовірності цих подій будуть:
1 15 1
( )
210 14
m
P A
n



,
2 1
( )
210
m
P B
n


,
3 90 3
( )
210 7
m
P C
n



.

Виконання лабораторної роботи

Завдання до теми

Користуючись елементами комбінаторики та програмою Еxcel розв'язати наступні задачі:
1.
Завдання 1, завдання 2 (додаток 1) (номер варіанту згідно порядкового номера за списком групи) двома способами:
− за допомогою формул комбінаторики;
− із використанням функцій Excel.
2.
Завдання 1 (додаток 1) виконати із використанням функції пакету
Excel
ГИПЕРГЕОМЕТ
(Число_успехов_в_выборке;
Размер_выборки;
Число_успехов_в_совокупности; Размер_совокупности). Порівняти отримані результати.


Теоретичні запитання до теми
1.
Що називається сполуками елементів певної множини?
2.
Які сполуки елементів певної множини називаються перестановками, розміщеннями та комбінаціями?
3.
За якими формулами обчислюються перестановки, розміщення та комбінації?
4.
За якими функціями програми Еxcel обчислюються перестановки, розміщення та комбінації?

13 5.
Які є два основні правила комбінаторики? Навести приклади.
6.
Як визначити, з яким, із основних понять комбінаторики в даній ситуації ми маємо справу?
7.
Які події називаютьcя достовірними, неможливими, випадковими? Навести приклади.
8.
Яка подія називається елементарною; складеною елементарною подією?
Навести приклади.
9.
Які події називаються сумісними, несумісними, рівноможливими ?
10.
Дати класичне означення ймовірності випадкової події.
11.
Що називається простором елементарних випадкових подій? Навести приклади.

Оформлення звіту та порядок захисту
Лабораторна робота виконується на аркушах А4, в ній стисло відображається зміст, хід роботи та отримані результати. При захисті студент повинен розуміти зміст роботи, порівняти отримані результати проведених обчислень, а також знати відповіді на теоретичні запитання.

















14

Лабораторна робота № 2
Послідовні незалежні випробування. Формула Бернуллі
Мета роботи: Вивчення можливостей пакету Microsoft Excel для розв'язання задач, пов’язаних із серією незалежних випробувань та основних граничних теорем формули Бернуллі.
Теоретичні відомості
Схема Бернуллі
Означення. Якщо п незалежних випробувань проводити в однакових умовах і ймовірність появи події А в усіх випробуваннях однакова та не залежить від настання або ненастання А в інших випробуваннях, то таку послідовність випробувань називають схемою Бернуллі.
Ймовірність того, що подія A


( )
P A
p

в n спробах з´явиться рівно k разів, а в решті n k

спроб з´явиться протилежна подія
A ,
q
A
P

)
(
)
1
(


q
p
, за теоремою множення ймовірностей незалежних подій дорівнює
k
n
k
q
p


При цьому подія A в n спробах може з´явитися рівно k разів в різних комбінаціях, число яких
k
n
C
. Оскільки всі комбінації подій є подіями несумісними і не важливо, в якій послідовності з´явиться подія A або подія A , то, застосовуючи теорему додавання ймовірностей несумісних подій, отримаємо формулу Бернуллі
( )
k
k
n k
n
n
P k
C p q


. (2.1)


Поділіться з Вашими друзьями:
  1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   14


База даних захищена авторським правом ©divovo.in.ua 2017
звернутися до адміністрації

войти | регистрация
    Головна сторінка


загрузить материал