Методичні вказівки до виконання курсової роботи з дисципліни " основи математичного моделювання в електромеханіці" для студентів спеціальності 092203



Сторінка4/5
Дата конвертації04.06.2017
Розмір0.69 Mb.
ТипМетодичні вказівки
1   2   3   4   5

Розрахунок перехідних процесів методом структурного моделювання

Для структурного моделювання на основі математичний опису треба утворити структурну схему досліджуваного об‘єкту. Одним із способів створення структурної схеми є використання ДР у нормальній формі Коші.

Спочатку ці ДР треба записати в операторній формі. Для цього оператор диференціювання замінюють оператором Лапласа , і переходять від сигналів у просторі часу до зображень цих сигналів у просторі змінної Лапласа. У такий спосіб операція диференціювання у просторі часу замінюється операцією множення зображення сигналу на змінну Лапласа. Відповідно операції інтегрування відповідає операція ділення зображення сигналу на оператор Лапласа. Відношення зображень вихідного сигналу до вхідного при нульових початкових умовах називається передавальною функцією



. (3.22)

Ланку структурної схеми з передавальною функцією



(3.23)

називають інтегратором.

Запишемо ДР (2.37) в операторній формі:

(3.24)

Рівняння зв‘язку у зображеннях залишаються такими ж, як і у просторі часу.

Структурна схема, складена за рівняннями (3.24) та (3.20), яка по суті є графічним відображенням математичного опису зображена на рис. 3.6.

Для складання структурної моделі лінійного неперервного динамічного об‘єкта завжди можна обійтися тільки трьома типами блоків: інтеграторами, алгебраїчними суматорами та блоками множення на постійний коефіцієнт, які у Simulink називаються відповідно: Integrator, Sum та Gain. Ще декілька блоків знадобляться для запам‘ятовування або для візуалізації результатів моделювання.



Рисунок 3.6

Перелік деяких потрібних S-блоків наданий на рис.3.7.

Рисунок 3.7

Відповідна схема в блоках Simulink показана на рис. 3.8.

Рисунок 3.8


      1. Розрахунок перехідних процесів методом віртуального фізичного моделювання

Перевагою віртуального фізичного моделювання є те, що для його застосування не потрібно складати математичний опис досліджуваної системи. Ця функція покладається на програмне забезпечення. Задачею користувача в даному разі є складання принципової електричної схеми у блоках віртуальної бібліотеки SimPowerSystem, що потребує деякого досвіду.

Досліджувана електрична схема в SPS-блоках подана на рис. 3.9.

Рисунок 3.9

Модель рис. 3.9 сконструйована у пакеті MatLab-6.1. Це зроблено навмисно, щоб показати еволюцію розвитку додатку SimPowerSystem, тому що існує багато літературних джерел, що описують версії, нижчі за MatLab-7. Справа у тому, що при переході від MatLab-6 до MatLab-7 відбулися кардинальні зміни в ідеології побудови SPS-моделей, а саме:


  • до 7-их версій зв‘язки між SPS-блоками були односпрямованими, і тому для замикання електричних кіл використовували конектори, а напрями протікання струмів позначалися стрілками;

  • починаючи з 7-ої версії сигнали зв‘язки між SPS-блоками стали двоспрямованими, і необхідність у конекторах пропала;

  • до 7-ої версії був відсутній блок PowerGUI, без наявності якого моделі з блоками у більш нових версіях не працюють.

Інші розбіжності (розподіл блоків по бібліотекам, перелік параметрів, наявність деяких додаткових блоків, тощо) не є суттєвими.

Simulink-блоки у моделі рис. 3.9 використані тільки для фіксації результатів та формування вихідного сигналу джерела струму.

Блок Breaker Elements використано для замикання та розмикання електричного кола. Вхід 1 та вихід 2 приєднуються до SPS-блоків електричної схеми. Початкові умови (initial state) завдають стан ключа (0 – розімкнений, 1 – замкнений). Для зміни стану ключа на вхід с треба подати керуючий сигнал Simulink. Особливістю блока Breaker є те, що він зроблений по типу джерела струму, тому його не рекомендовано приєднувати послідовно до джерела струму або до котушки індуктивності. У цих випадках треба зашунтувати вхід-вихід ключа резистором з дуже великим опором.

Блок Breaker можна замінити блоком Ideal Switch із бібліотеки Power Electronics. У цьому разі сигнал керування подається на вхід g. Блок Ideal Switch зроблений у вигляді зашунтованої послідовної RC-гілки. Вихід m використовують для виведення струму і напруги ключа під час моделювання. Якщо це непотрібно, до виходу m підключають термінатор.


    1. Приклад розрахунку перехідних процесів
      в нелінійному електричному колі


Якщо у досліджуваних динамічних об‘єктах присутні елементи з нелінійними характеристиками «вхід-вихід», то диференційні рівняння, що їх описують, також стають нелінійними. Для цих випадків треба мати або аналітичний опис статичних характеристик нелінійних ланок, або таблиці відповідності аргументів та значень цих характеристик. За даними таких таблиць можна виконувати апроксимацію нелінійних залежностей методом найменших квадратів інтерполювати їх на кожному кроці чисельного інтегрування. Оператори, що описують статичні нелінійні характеристики, додають до рівнянь зв‘язку як у функцію правих частин ДР, так і у головну програму.

У якості прикладу розглянемо електричну схему, подану на рис. 3.10, при , . Залежність магнітного потоку котушки індуктивності від струму намагнічування внаслідок ефекту насичення сталі є нелінійною. Графік цієї залежності має вигляд рис. 3.11.



Рисунок 3.10



Рисунок 3.11



Вона задана табличною функцією , наприклад,

(3.25)

У такому разі індуктивність



(3.26)

буде змінною величиною.

Згідно із другим законом Кірхгофа напруга в електричній схемі визначається за формулою

. (3.27)

Після підстановки (2.45) у (2.46) отримаємо



,

або у нормальній формі Коші



, (3.28)

де

іі (3.29)

– нелінійне рівняння зв‘язку,



(3.30)

– початкова умова.

Для відомої табличної залежності можна розрахувати для будь-якого значення і за допомогою апроксимації чи інтерполяції. При апроксимації кривих намагнічування звичайно використовують степеневі поліноми 3-го або 5-го порядку (обов’язково непарного, тому що функція центрально-симетрична).

Програмні модулі для розв‘язання поставленої задачі при використанні для математичного опису кривої намагнічування апроксимації та інтерполяції наведені у табл. 3.2.

Функція i=interp1(Ft,it,F) виконує кусочно-лінійну апроксимацію кривої намагнічування. Іншими словами можна сказати, що вона інтерполює задану таблицею нелінійну залежність рухомими степеневими поліномами 1-го порядку. Такий спосіб не завжди задовольняє вимогам щодо точності розрахунків, тому що інтерпольована у такий спосіб залежність у вузлах таблиці має точки зламу, а графік похідних від інтерпольованої кривої має розриви першого роду.
Таблиця 3.2

Апроксимація

Інтерполяція

Функції розрахунку правих частин ДР




function dy=frn_a(t,y)

global R U A

F=y(1);

i=polyval(A,F);



dy(1)=U-i*R;

function dy=frn_i(t,y)

global R U it Ft

F=y(1);

i=interp1(Ft,it,F);



dy(1)=U-i*R;

Головна програма




global R U A

U=… R=… y0=… tk=…

It = […] Ft = […]

C = polyfit (it, Ft, 5);

[t,y] = ode23(@frn_a, [0 tk], y0);

I = polyval (C, y);

plot (t, y, t,i)


global R U it Ft

U=… R=… y0=… tk=…

it=[…] Ft=[…]

[t,y]=ode23 (@frn_i, [0 tk], y0);

I = interp1 (Ft, it, y);

plot (t, y, t, I)



Підвищити інтерполювання можна застосуванням інтерполяції рухомими степеневими поліномами 3-го порядку i=interp1 (Ft, it, F, ‘cubic’) або інтерполяції кубічними сплайнами i = interp1 (Ft, it, F, ‘spline’).

У середовищі Simulink кусочно-лінійну апроксимацію здійснює блок Look-Up-Table з бібліотеки Functions&Tables. Параметрами цього блоку є вектор аргументів (Vector of input values) та вектор значень (Table data) табличної функції.

Для використання кубічної інтерполяції або інтерполяції сплайнами застосоовують блок MATLAB Fcn з параметром MATLAB function: interp1 (Ft, it, u, 'cubic') або interp1 (Ft, it, u, 'spline') відповідно. Для використання апроксимації степеневим поліномом 5-го порядку застосоовують блок Polynomial з параметром Polynomial Coefficients: C = polyfit (it, Ft, 5).

Simulink-модель досліджуваної схеми зображена на рис. 3.12.

Рисунок 3.12

Процес ініціалізації цієї моделі та розрахунок перехідних процесів можна виконати за допомогою такої програми:

clc, clear all, close all

Ft=[0:0.1:1.1]*3.2

it=[0 0.02 0.042 0.067 0.098 0.141 0.205 0.3 0.447 0.669 1 1.48 ]*20

U=80, R=4

C=polyfit(Ft,it,5)

col='bkr';

for k=1:3

sim ('OMM_NonLinSim')

figure (1)

plot(tout,I,col(k)), hold on, grid on

figure (2)

plot(tout,F,col(k)), hold on, grid on

end


figure (1), legend('I(t)'),

figure (2), legend('F(t)')

Результат виконання наведеної програми наведено на рис. 3.13 та рис. 3.14.

Рисунок 3.13



Рисунок 3.14


4 РОЗРАХУНОК ПЕРЕХІДНИХ ПРОЦЕСІВ
У МЕХАНІЧНИХ ОБ‘ЄКТАХ


4.1. Математичний опис жорстких механічних об‘єктів
з одним ступенем свободи

Механічні об‘єкти з одним ступенем свободу здійснюють поступальні або обертальні рухи.



Механічну інертність об‘єктів поступального руху характеризує маса (, кг), а основними параметрами його є переміщення (, м), лінійна швидкість (, м/с), лінійне прискорення (, м/с2) та ривок (, м/с3), що пов‘язані одне з одним диференційними рівняннями

, , . (4.1)

Механічну інертність об‘єктів обертального руху характеризує момент інерції (, кг·м2), а основними параметрами його є кутове переміщення (, рад), кутова швидкість (, рад/с), кутове прискорення


(, рад/с2) та кутовий ривок (, рад/с3), що пов‘язані одне з одним диференційними рівняннями

, , . (4.2)

Найбільш просто математично описуються динамічні системи із зосередженими параметрами, зокрема з зосередженими масами.

Рівняння руху механічних об‘єктів з постійною механічною інерційністю визначається другим законом Ньютона:

, (4.3)

, (4.4)

де – алгебраїчна сума сил, що діють на тіло по осі його поступального руху; – алгебраїчна сума моментів, що діють на тіло у площині його обертання.



Взаємозв‘язок між лінійними та обертальними параметрами суцільного циліндра або диска радіусом , що обертається навколо своєї осі (див. рис. 2.21) визначаються рівняннями

, , , . (4.5)

При визначенні моментів інерції тіл, що обертаються, їх форму зазвичай спрощують. Наприклад, ротор (або якір) електричного двигуна уявляють тонкостінним порожнистим циліндром, а пристрої намотки – товстостінними порожнистими циліндрами, для яких відповідно



, . (4.6)

4.2 Математичний опис механічних об‘єктів
з пружно-в‘язкими кінематичними зв‘язками

Механізми або їх робочі органи приводяться до руху двигунами. Рух від двигуна до механізму передається різноманітними пристроями: валами, шківами, муфтами, зубчатими колесами, черв‘ячними передачами, кулачковими механізмами, тощо. Такі пристрої мають пружні властивості і характеризуються коефіцієнтами жорсткості (коефіцієнтами пружності) та коефіцієнтами в‘язкого (внутрішнього) тертя .



Лінійна пружна деформація виникає при розтягуванні (стисненні) пружин та пружинно подібних елементів, наприклад, довгих канатів. При обертальному русі може виникнути пружна деформація скручування довгих та тонких валів.

При пружній деформації у деформованому тілі з‘являється пружне зусилля або пружний момент, пропорційний величині деформації, тобто різниці між переміщеннями протилежних кінцівок передачі:



. (4.7)

Пружній деформації перешкоджають момент або зусилля внутрішнього в‘язкого тертя, зумовлені силами міжмолекулярної взаємодії деформованого матеріалу і пропорційне різниці між швидкостями протилежних кінцівок передачі:



. (4.8)

При взаємодії величин (4.7) та (4.8) утворюється пружно-в‘язке зусилля або пружно-в‘язкий момент



. (4.9)

Для прикладу розглянемо кінематичну схему двомасової пружно-в‘язкої механічної системи поступального руху, подану у завданні 4 на


рис. 1.5б.

Її математичний опис без урахування сухого тертя має вигляд



(4.10)

Структурна Simulink-модель, складена за рівняннями (4.10), зображена на рис. 4.1.



Рисунок 4.1


4.3 Віртуальне фізичне моделювання механічних об‘єктів
у середовищі MATLAB -Simulink - SimMechanics

Для дослідження кінематики та динаміки механізмів різного рівня складності ефективно використовувати моделювання за допомогою бібліотеки SimMechanics [20]. Віртуальна фізична модель подається у вигляді блочної діаграми. Блоки пакета є моделями механічних пристроїв, розташування яких у просторі та відносно одне від одного може змінюватися у відповідності до законів механіки. Моделі SimMechanics зображують фізичну структуру механізмів, геометричні та кінематичні відношення їх компонентів. SimMechanics автоматично перетворює ці блочні зображення в еквівалентну математичну модель.

SimMechanics оперує не з сигналами, а з механічними зусиллями. В силу третього закону Ньютона, зв‘язки між входами і виходами блоків не можна розглядати як односпрямовані. Ці зв‘язки слугують для передачі силових дій, якими обмінюються частини механізмів або механізми між собою. Тому вони не позначаються стрілками.

SimMechanics підтримує засоби анімації для демонстрації роботи механізмів у динаміці. Анімація застосовує інструменти Microsoft Audio Video Interleave® (AVI), мають розширення *.avi, підтримує засоби OpenGL та може використовувати віртуальні вимірювальні засоби.

Розділи бібліотеки показані на рис. 4.2.


Рисунок 4.2

Вміст розділу Bodies відображено на рис. 4.3.

Рисунок 4.3

Комбінація блоків Machine Environment і Ground задає гравітаційні сили, прикладені до центру координат та їх орієнтацію в заданій системі відліку (див. рис. 4.4).

Рисунок 4.4

Найважливішим елементом при створенні моделі механізму в SimMechanics є блок Body. Його структура дозволяє повністю визначити фізичні параметри матеріальних тіл: масу, тензор інерції, геометричний центр мас, положення координатних систем та їх відносну орієнтацію.

При дослідженні механічних об‘єктів скористаємося такою термінологією:



  • механічна ланкасукупність деталей, з‘єднаних у таким спосіб, що їх взаємне розташування не змінюється у процесі руху;

  • кінематична параз‘єднання двох механічних ланок, що стикаються, але можуть змінювати своє відносне положення у просторі;

  • нижчі кінематичні парице такі пари, в яких ланки торкаються одна одної по поверхням конечних розмірів або по плоскості. До них відносяться поступальна та обертальна пари першого, другого і третього класів, а також гвинтова пара.

  • вищі кінематичні парице пари, в яких контакт елементів відбувається по лінії або у точці.

Кінематичні пари відрізня-ються одна від одної кількістю ступенів свободи, які можуть бути як поступальними, так і обертальними.

Механічні ланки відобра-жаються блоками Body, а зв‘язки між ними (з‘єднання, суглоби, кінематичні пари) – блоками розділу Joints, вміст якого відображено на рис. 4.5.

Розглянемо деякі з кінематичних пар SimMechanics.

Жодного ступеня свободи немає пара Weld (нерухоме з‘єднання, стойка, сварка).

До пар з одним ступенем свободи належать: Prismatic (кінематична пара поступаль-ного руху) – забезпечує перемі-щення впродовж однієї прямої, Revolute (поворотний важіль, обертальна пара, цилінд-ричний шарнір) – забезпечує обертальний рух навколо однієї з осей тримірного простору, тобто в одній площині (наприклад, математичний маятник), Screw (гвинтова пара, черв‘як, шнек) – перетворює обертальний рух у поступальний впродовж однієї прямої.

До пар з двома ступенями свободи належать: In-plane (планарна, плоска пара) забезпечує поступальний рух в одній площині, Cylindrical (циліндрична пара) – забезпечує обертальний рух навколо однієї з осей тримірного простору та поступальний рух впродовж цієї ж осі, Universal (універсальна обертальна пара) – забезпечує обертальний рух з можливістю повороту площини обертань наприклад, маятник, що може змінювати площину коливань.

До пар з трьома ступенями свободи належать: Planar (пара поступального руху) – забезпечує поступальний рух у просторі, Gimbal (шарнір, кардан) – забезпечує обертальний рух з можливістю повороту осі обертання, Spherical (сферичний шарнір, шарова опора) – забезпечує обертальний рух навкруги однієї точки з можливістю повороту площини обертань.

Для моделювання пружно в‘язких з‘єднань між механічними ланками використовують блоки розділу Force Elements (див. рис. 4.6).



Рисунок 4.6

У розділі Sensors & Actuators (рис. 4.7) розташовані датчики для вимірювання механічних сигналів та приводні механізми, що дають можливість прикласти до механічних ланок або з‘єднань між ними зусилля або моменти.

Рисунок 4.7

Віртуальна фізична модель двомасової механічної системи поступального руху з використанням описаних вище блоків подана на рис. 4.8.

Рисунок 4.8




Поділіться з Вашими друзьями:
1   2   3   4   5


База даних захищена авторським правом ©divovo.in.ua 2017
звернутися до адміністрації

войти | регистрация
    Головна сторінка


загрузить материал