Методичні вказівки до виконання курсової роботи з дисципліни " основи математичного моделювання в електромеханіці" для студентів спеціальності 092203



Сторінка2/5
Дата конвертації04.06.2017
Розмір0.69 Mb.
ТипМетодичні вказівки
1   2   3   4   5

Зміст пояснювальної записки та вимоги
до її оформлення


Пояснювальна записка оформлюється відповідно до існуючих вимог [33].

Пояснювальна записка повинна послідовно вміщувати титульний лист, реферат, зміст, вступ, основну частину, висновки, перелік посилань, додатки.

Приклад оформлення титульного листа наведено в додатку А.

Реферат, приклад якого міститься в додатку Б, повинен послідовно мати:


  1. дані про обсяг записки, кількість ілюстрацій, таблиць, використаних джерел згідно перелікам посилань;

  2. текст реферату, який відображає мету роботи, отримані результати та рекомендації щодо їх використання;

  3. перелік від 5 до 15 ключових слів, які характеризують зміст записки та записуються в називному відмінку великими буквами через кому; кожне із ключових слів повинне бути присутнім в основній частині реферату.

Реферат розташовується на одній сторінці і має обсяг не більш 500 слів. Ключові слова реферату допомагають присвоїти роботі індекс універсальної

Зміст включає найменування всіх розділів, підрозділів та пунктів із вказівкою номерів сторінок, з яких вони починаються. Приклад можливого змісту роботи наведено в додатку В.

Вступ містить оцінку поставленої проблеми, мету роботи та перелік задач, які повинні бути вирішені для досягнення мети.

Основна частина складається з наступних розділів:

  1. Завдання на роботу та математичний опис.

  2. Еквівалентні перетворення математичного опису.

  3. Розробка математичних моделей і програмних модулів.

  4. Результати розрахунків та їх аналіз.

Вказані розділи можуть бути доповнені новими та поділені на підрозділи й пункти.

Розділи нумеруються послідовно арабськими цифрами без крапки в кінці. Номер підрозділу складається з номера розділу та його порядкового номера‚ вказаного через крапку. Наприклад, 2.3 (третій підрозділ другого розділу). Аналогічно нумеруються пункти, наприклад, 2.3.1.

У змісті та в заголовках пояснювальної записки напис “ОСНОВНА ЧАСТИНА” не вказується, а наводяться тільки розділи, підрозділи та пункти основної частини.

У висновках містяться короткі висновки, вказується цінність результатів роботи та області їх можливого використання.



Перелік посилань вміщує перелік всіх джерел (книги, журнали, статті, патенти, стандарти та інше), які використовувались при виконанні роботи та оформленні записки. Джерела розташовуються в порядку появи посилань на них у тексті записки.


  1. РОЗРАХУНОК УСТАЛЕНИХ РЕЖИМІВ
    У ЕЛЕКТРИЧНИХ КОЛАХ МАТРИЧНИМ МЕТОДОМ





    1. Математичний опис лінійних розгалужених електричних кіл

Рішення систем лінійних рівнянь використовується в електротехніці та похідних від неї дисциплінах при розрахунках статичних режимів в розгалужених електричних колах.

Для обчислення струмів та напруг у електричних колах матричним методом спершу необхідно визначити наступні параметри:



q – кількість вузлів у схемі;

m=q-1кількість незалежних вузлів;

p – кількість гілок з невідомими струмами;

n=p-m – кількість незалежних контурів.

Після цього складаємо матриці незалежних контурів G розміром (p*n), з’єднань D розміром (m*p), а також вектори ЕРС E розміром (p*1), джерел струму Jk розміром (m*1), квадратну діагональну матрицю опорів Z розміром (p*p).

Елементи матриць G і D утворюються згідно з формулами:



Запишемо рівняння у матричній формі за законом Ома та I i II законами Кірхгофа:



U(p,1)=E(p,1)-Z(p,p)*I(p,1), (2.1)

D(m,p)*I(p,1)+Jk(m,1)=0, (2.2)

GT(n,p)*U(p,1)=0, (2.3)

Помноживши (2.1) на GT зліва, маємо:



GT*U=GT*E-GT*Z*I=0,

GT*Z*I=GT*E. (2.4)

Об’єднаємо рівняння (2.2) та (2.4) в одну систему:



(2.5)

Позначивши матрицю коефіцієнтів як А і вектор вільних членів як В



(2.6)

отримаємо систему лінійних рівнянь



А*І=В, (2.7)

яку можна вирішити будь-яким з відомих методів.

Якщо в електричних схемах присутні тільки активні опори, то система (1.6) матиме тільки дійсні коефіцієнти.

При наявності в електричних колах реактивних (індуктивних та ємнісних) елементів їх опори визначаються комплексними величинами



, , (2.8)
де ω – частота напруги живлення.

Синусоїдальну напругу змінного струму



(2.9)
також можна відобразити на комплексній площині у вигляді вектору з амплітудою , повернутого відносно дійсної осі на кут , який описується комплексним числом:

. (2.10)

У такий же спосіб можна описати інші сигнали у колах змінного струму (електрорушійні сили, струми, тощо). При використанні цього підходу математичний опис усталених режимів у розгалужених колах змінного струму з активно-реактивними елементами, складений за наведеною вище методикою уявляє собою систему лінійних алгебраїчних рівнянь з комплексними коефіцієнтами. Розв‘язком цієї системи також є вектор комплексних струмів певної амплітуди та фази. Отже в усталеному режимі струми гілок змінюються по синусоїдальному закону. Частота коливань співпадає з частотою живлення, а амплітуди і фазові зсуви залежать від комплексних опорів. При наявності полігармонічних вхідних напруг або струмів їх треба розкласти на окремі гармоніки, визначити реакцію системи на кожну гармоніку, а результати скласти між собою.



2.2 Розв‘язання систем лінійних рівнянь.

Розрахунок визначника матриці. Обернення матриць
Система n лінійних рівнянь з n невідомими має вигляд:

(2.11)

Її можна записати і у матричній формі:



A*X=B, (2.12)

де – квадратна матриця коефіцієнтів;



– вектор вільних членів; – шуканий вектор коренів.

Способи рішення систем лінійних рівнянь поділяються на дві групи:



  • точні методи (метод обернення матриці коефіцієнтів, правило Крамера, метод Гауса та інші);

  • ітераційні методи (Ньютона, Зейделя, простих ітерацій та інші).

Якщо матриця А неособлива, тобто її визначник не дорівнює нулю, то система має єдине рішення:

X=A-1*B, (2.13)

де A-1 – матриця, обернена до матриці А.

Обчислення коренів за формулою (2.10) називається методом обернення матриці коефіцієнтів.

Згідно з правилом Крамера корні обчислюються за формулами:



,

де – визначник матриці А;



– визначники матриць, отримані з матриці А шляхом заміни її i-го стовпця вектором вільних членів B.

Обидва з перелічених вище методів використовують на практиці тільки при рішенні “вручну” систем рівнянь невисокого порядку. При n>3 ці методи дуже трудомісткі та не економічні.

Найбільш поширеним методом рішення систем лінійних рівнянь є метод Гауса.

Метод Гауса можна розбити на два етапи:


  • прямий хід, який полягає у перетворенні матриць коефіцієнтів до трикутного вигляду шляхом почергового виключення невідомих з першого по (n-1)-ий;

  • зворотний хід, який полягає у почерговому визначенні корнів з n-го по
    перший з перетвореної системи рівнянь.

Виключення k-го кореня (k = 1, 2,..., n-1) з і-го рівняння (i = k+1, k+2,...,n) виконують шляхом заміни усіх коефіцієнтів i-го рівняння різницею між попередніми коефіцієнтами цього рівняння та відповідними коефіцієнтами i-го рівняння, помноженими на масштабний множник

. (2.14)

У результаті коефіцієнти і-го рівняння приймуть наступні значення:



У формулах (2.16) та (2.17) знак “=“ використовується як символ операції присвоєння, у правій частині використовуються попередні значення коефіцієнтів та , а у лівій = нові.

При виключенні невідомих мінімальної похибки округлення при перерахунку коефіцієнтів можливо досягти перестановкою рівнянь у такий спосіб, щоб модулі коефіцієнтів при невідомих були максимально можливими. Цей етап метода Гауса зветься вибором головного елемента.

Відповідно до вищеподаного, схема алгоритму прямого ходу може мати вигляд, наданий на рис. 2.1.

У результаті прямого ходу система рівнянь (2.11) отримує вигляд

(2.18)

Коефіцієнти та системи (2.18) відрізняються від відповідних коефіцієнтів системи (2.11).

Алгоритм прямого ходу для матриці коефіцієнтів використовують також для розрахунку визначника, бо в результаті такого еквівалентного перетворення матриця набуває трикутної форми, і для розрахунку визначника залишається тільки перемножити діагональні елементи.

З перетвореної системи корені можливо розрахувати за формулами:



(2.16)

Схема зворотного ходу має вигляд, наданий на рис. 2.2.




Що стосується розрахунку оберненої матриці А-1, то її можна визначити зі співвідношення

, (2.20)

де І – одинична діагональна матриця того ж розміру, що і вихідна матриця А.

З (2.20) випливає, що добуток від множення вихідної матриці на один із стовпчиків оберненої матриці дорівнює відповідному стовпчику одиничної діагональної матриці.

У такий спосіб утворюється система лінійних рівнянь, у якій матрицею коефіцієнтів є вихідна матриця, вектором вільних членів –


-й стовпчик одиничної діагональної матриці, а вектором невідомих – -й стовпчик оберненої матриці. Отже, щоб розрахувати обернену матрицю -го порядку методом Гауса, треба розв‘язати систем лінійних рівнянь з невідомими. Ситуація дещо спрощується за рахунок того, що системи відрізняються одна від іншої тільки стовпцем вільних членів.

При оберненні матриць невисокого порядку «вручну» доволі часто використовують формулу



, (2.21)

де приєднана, взаємна, або союзна матриця (матриця, складена із алгебраїчних доповнень транспонованої вихідної матриці).

З приведеної інформації випливає, що розв‘язання системи рівнянь методом Гауса потребує набагато менше часу, ніж використання оберненої матриці, обчислення якої є достатньо трудомістким процесом.

Обчислення коренів системи лінійних рівнянь у пакеті MatLab можна виконати за допомогою операції лівобічного ділення І=А\В або множенням оберненої матриці на вектор вільних членів: І=Inv(A)*B. Перший із запропонованих способів є кращим, тобто більш швидкодіючим, оскільки він застосовує найбільш ефективні методи розв‘язання системи, здійснюючи вибір методу на основі аналізу матриці коефіцієнтів. Проконтролювати час, необхідний для рішення кожним методом, можна, використовуючи функції etime(t2,t1), tic та toс.

Слід відзначити, що точність розв‘язку не буде абсолютною, не зважаючи на еквівалентність перетворень та відсутність ітераційних обчислень. Вона спотворюється похибками округлення, які виникають при виконанні арифметичних операцій. Для перевірки точності розв‘язку доцільно обчислити і вивести на екран значення вектору нев’язок:

(2.22)

У разі вірного розв’язання системи нев’язки (неузгодженості) повинні бути близькими до нуля. При використанні методу обернення можна також додатково перевірити точність розрахунку оберненої матриці шляхом обчислення матричного добутку вихідної матриці коефіцієнтів А та оберненої. Результатом повинна бути одинична діагональна матриця.



    1. Розрахунок усталених режимів в електричних колах у середовищі Simulink з використанням блоків бібліотек SimPowerSystem

Програма Simulink має розширення SimPowerSystems (SPS), призначене для моделювання електричних кіл з використанням елементів принципових схем.

В останніх версіях Simulink розширення SimPowerSystems входить до складу додатку віртуального фізичного моделювання SimScape поряд з фундаментальною бібліотекою процесів Foundation Library (Electrical, Hydraulic, Magnetic, Mechanical, Pneumatic, Thermal) та бібліотеками SimElectronics, SimMechanics, SimHydraulics та SimDriveline.

На відміну від Simulink-блоків, SPS-блоки подано у вигляді позначень відповідних елементів на принципових електричних схемах. З‘єднуючись між собою, ці блоки утворюють електричні кола. Математичний опис окремих елементів приховано від користувача, завдяки чому створюється ілюзія віртуального фізичного моделювання. Насправді ж кожному з блоків SimPowerSystems поставлено у відповідність неперервні та дискретні Simulink-моделі, які можна побачити після завантаження файлів powerlib_models, powerlib_extras, powerlib_meascontrol. Шлях до цих файлів у версії R2013a має вигляд: ProgramFiles\MATLAB\R2013a\toolbox\physmod \powersys\powersys.

Отже, не зважаючи на ілюзію фізичного моделювання, користувач повинен чітко уявляти, що SPS-блоки створені на основі математичного опису, складеного розробниками пакету із певними припущеннями, які необхідно знати для адекватного застосування SPS-моделей в процесі досліджень. Для цього треба користуватись довідковою інформацією за допомогою функції help. Якщо цієї інформації не вистачає, можна проаналізувати відповідні Simulink-моделі.



SPS-блоки мають такі особливості [5]:

  • їх входи та виходи, на відміну від Simulink-блоків (S-блоків), не вказують напрямок передачі сигналу, бо вони фактично є еквівалентами електричних контактів;

  • лінії зв‘язку між SPS-блоками є моделями ідеальних (без опору) електричних проводів, по яким струм може протікати в обох напрямках;

  • SPS- та S-блоки не можуть з‘єднуватися один з іншим безпосередньо; сигнал від S-елементів можна передати до SPS-елементів тільки через керовані джерела енергії (Controlled Voltage/Current Source) SPS-бібліотеки Electrical Sources, а навпаки – через блоки бібліотек засобів вимірювання (Measurements);

  • в моделі, яка отримує в собі SPS-блоки, має бути присутнім хоча б один з вимірювальних SPS-приборів, що пов‘язано з особливостями перетворення SPS-моделі в еквівалентну розрахункову S-модель;

  • в SPS-модель необхідно встановлювати блок powergui.

Перелік блоків SimPowerSystems, необхідний для розв‘язання поставленої задачі, надано на рис 2.3.

Рисунок 2.3.

Подані блоки мають порти двох типів: SPS-порти, позначені дрібними квадратиками та S-порти, позначені кінцівками стрілок, що допомагає запобігти помилок при з‘єднанні блоків.

Блоки Parallel RLC Branch та Series RLC Branch можуть змінювати свій вигляд в залежності від того, які з елементів виключено зі схеми. Виключення непотрібного елемента (наприклад індуктивності) виконується у такий спосіб, щоб опір цього елемента дорівнював 0 для послідовного з'єднання, та нескінченності для паралельного. При використанні блоків Parallel RLC Branch для RL-гілки приймаємо С=0, для RC- гілки – L=inf, для LC- гілки – R=inf; при використанні блоків Series RLC Branch для RL- гілки приймаємо С=inf, для RC- гілки – L=0, для LC-гілки – R=0. Виміри напруг на елементах та струмів через них зручно проводити за допомогою блоків Voltage Measurement, Current Measurement або Multimeter.

Для використання блоку Multimeter необхідно сформувати вимірювані сигнали (в блоках Parallel RLC Branch та Series RLC Branch встановити значення параметра Measurements на Branch voltage, Branch current, Branch voltage and current). Ці сигнали автоматично відобразяться в списку сигналів мультиметру, як це показано на рис. 2.4. Обрані з цього списку сигнали подаються на вихід блоку Multimeter у вигляді векторного сигналу.

Рисунок. 2.4. Параметри блоку Multimeter

Для формування напруг та струмів довільної форми використовують блоки Controlled Voltage Source та Controlled Current Source. На вхід цих блоків подається сигнал, сформований будь-якими стандартними блоками Simulink (Sources, Math, Continuous тощо). На виході буде сформовано сигнал напруги чи струму, що точно повторюватиме сигнал на вході блоку.

На рис. 2.5 наведено приклад розрахунку усталених режимів у середовищі Simulink з використанням SPS- та S-блоків.

Рисунок 2.5. Приклад розрахунку усталених режимів


у лінійних електричних колах


  1. РОЗРАХУНОК ПЕРЕХІДНИХ ПРОЦЕСІВ У НЕПЕРЕРВНИХ
    ДИНАМІЧНИХ СИСТЕМАХ


Перехідні процеси – це залежність фізичних змінних від часу. Неперервні динамічні описуються звичайними диференційними рівняннями (ДР) з початковими умовами. Розрахунок перехідних процесів полягає у розв‘язанні цих ДР. Рішення диференційних рівнянь складає фундамент математичного моделювання. Зазвичай розв‘язання здійснюють чисельними методами.

    1. Загальна характеристика чисельних методів розв‘язання диференційних рівнянь

Звичайне диференційне рівняння n-го порядку у загальному випадку має вигляд:

(3.1)

де – незалежна змінна, яка досить часто є часом; – невідома функція незалежної змінної; , , – її похідні.

Для визначення частинного розв‘язку рівняння (3.1) повинні бути відомі n початкових умов:

(3.2)

Чисельне рішення диференційного рівняння полягає у визначенні таблиці значень на деякому інтервалі . Різницю між двома сусідніми табличними значеннями аргументу називають кроком інтегрування:

(3.3)

Для використання більшості з чисельних методів необхідно початкове диференційне рівняння (2.20) перетворити у систему диференційних рівнянь першого порядку у нормальній формі Коші, тобто рівнянь, розв‘язаних відносно похідних:



(3.4)

(3.5)

або у векторній формі:




Поділіться з Вашими друзьями:
1   2   3   4   5


База даних захищена авторським правом ©divovo.in.ua 2017
звернутися до адміністрації

войти | регистрация
    Головна сторінка


загрузить материал