Методичні рекомендації до самостійного виконання практичних завдань з дисципліни




Сторінка3/4
Дата конвертації25.12.2016
Розмір1.08 Mb.
ТипМетодичні рекомендації
1   2   3   4
Практичне заняття 3

ОСНОВИ ТАРИФНИХ РОЗРАХУНКІВ СТРАХУВАННЯ ЖИТТЯ

Ціль практичного заняття:
1. Мати уявлення:
– про базові поняття теорії страхування життя (страхування життя, страхування на чисте дожиття, різні види рент);
– про види довгострокового страхування життя;
– про принцип рівності страхових зобов'язань страховика й страхувальника на момент укладання договору.
2. Знати:
– актуарну сучасну вартість різних видів страхування;
– розрахункові формули для премій різних видів страхування.
3. Уміти:
– оцінювати ймовірність дожити до певного віку;
– оцінювати ймовірність не дожити до певного віку;
– використовувати таблиці тривалості життя для розрахунку основних характеристик тривалості життя;
– розраховувати величину внесків;
– обчислювати разові нетто-премії для різних видів страхування життя.
Теоретичні відомості про основи тарифних розрахунків по страхуванню
життя, структуру таблиць смертності

3.1. Особливості побудови тарифної ставки по страхуванню життя і її структура
Побудова тарифів по страхуванню життя має свої особливості:
– розрахунки ведуться з використанням демографічної статистики й теорії імовірності;
– при розрахунках застосовуються способи довгострокових фінансових розрахунків;
– тарифні нетто-ставки складаються з декількох частин, кожна з яких покликана сформувати страховий фонд по одному з видів страхової відповідальності, який включений в умови страхування.
Тарифна ставка визначає, скільки грошей кожний зі страхувальників повинен внести в загальний страховий фонд з одиниці страхової суми. Тому тарифи повинні бути розраховані так, щоб сума зібраних внесків виявилася достатньою для виплат, передбачених умовами страхування. Таким чином, тарифна ставка – це ціна послуги, що надається страховиком населенню, тобто своєрідна ціна страхового захисту. Від чого ж залежать її розміри, як установити ціну на той або інший вид страхування життя?
Повна тарифна ставка називається брутто-ставкою. Вона складається з нетто-ставки й навантаження. Завдання нетто-ставки – забезпечити виплати страхових сум, тобто виконання фінансових зобов'язань страховика по договорах страхування. Навантаження призначене компенсувати витрати на проведення страхових операцій.
31

Своєрідність операцій страхування життя проявляється при побудові нетто-ставки. Умови страхування життя звичайно передбачають виплати у зв'язку з дожиттям застрахованого до закінчення терміну дії договору страхування або у випадку його смерті протягом цього строку. Крім того, передбачаються виплати у зв'язку із втратою здоров'я внаслідок травми й деяких хвороб.
Таким чином, для розрахунку обсягу страхового фонду потрібно мати відомості про те, скільки осіб із числа застрахованих доживе до закінчення терміну дії їхніх договорів страхування й скільки з них щороку може вмерти; у скількох з них і в якому ступені настане втрата здоров'я. Кількість виплат, помножена на відповідні страхові суми, дозволить визначити розміри майбутніх виплат, тобто з'явиться можливість довідатися, у яких розмірах потрібно буде акумулювати страховий фонд.
Тривалість життя окремих людей коливається в широких границях. Вона відноситься до категорії випадкових величин, кількісне значення яких залежить від багатьох факторів, настільки віддалених і складних, що, здавалося б, їх неможливо виявити й вивчити. Теорія імовірності й статистика досліджують випадкові явища, які мають масовий характер, у тому числі смертність населення. Установлено, що демографічний процес зміни поколінь, що виражається в зміні рівня повікової смертності, підлеглий закону більших чисел, настільки одноманітному у своїх проявах і настільки достовірному в результатах, що він може бути основою фінансових розрахунків у страхуванні.
Демографічною статистикою виявлена й виражена за допомогою математичних формул залежність смертності від віку людей. Розроблено спеціальну методику складання так званих таблиць смертності, де на конкретних цифрах показується послідовна зміна смертності слідом за віком.
Цими таблицями страхові компанії користуються для розрахунку тарифів.
Крім закономірностей, пов'язаних із процесом дожиття й смертності, при побудові тарифів враховується довгостроковий характер операцій страхування життя, оскільки ці договори укладаються на тривалі строки від п’яти і більше років. Протягом усього часу їхньої дії (або на самому початку строку страхування при одноразовій сплаті) страхові компанії одержують внески.
Виплати ж страхових сум ведуться протягом строку страхування або після закінчення певного періоду від початку дії договору, якщо настане смерть застрахованого або він втратить здоров'я.
Тимчасово вільні кошти акумулюються страховою компанією й використовуються як кредитні ресурси. За користування ними платиться позичковий відсоток. Але якщо при ощадній операції дохід від відсотків приєднується до внеску, то в страхуванні на суму цього доходу заздалегідь зменшуються (дисконтуються) внески страхувальника, які підлягають сплаті.
Для того щоб заздалегідь понизити тарифні ставки на той дохід, що буде утворюватися протягом ряду років, використовуються методи теорії довгострокових фінансових розрахунків.
32

Тарифні ставки в страхуванні життя складаються з декількох частин.
Візьмемо для приклада змішане страхування життя. У ньому поєднуються кілька видів страхування, які могли б бути й самостійними:
– страхування на дожиття;
– страхування на випадок смерті;
– страхування від нещасних випадків.
По кожному з них за допомогою тарифу створюється страховий фонд, тому тарифна ставка в змішаному страхуванні складається із трьох частин, які входять у нетто-ставку, і четвертої частини – навантаження.
Аналогічно складається структура тарифних ставок і по інших видах страхування життя.
Структура тарифної ставки наведена на рис. 3.1.
Рис. 3.1 Структура тарифної ставки змішаного страхування життя
3.2. Таблиці смертності
Планування і проведення фінансових операцій по страхуванню життя засновані на стійкій закономірності в настанні смерті в рамках різних груп населення. Характер вимирання певної сукупності людей залежить від різних факторів: національних, природно-кліматичних, екологічних, соціально- економічних, професійних і т.п. Найбільш сильна кореляція спостерігається між смертністю й віком людини. Залежність смертності від віку і є основою для науково обґрунтованої організації довгострокового страхування життя.
Стандартна таблиця смертності являє собою набір стовпців, які відповідають різним демографічним показникам. У кожному рядку таблиці наведені значення цих показників для певного вікового інтервалу. У повних таблицях смертності – показники представлені по віках з інтервалом в 1 рік,
33
у коротких таблицях – з інтервалом в 5 років. Таблиця смертності представлена в додатку1. У першому стовпці таблиці наведене число людей
x
l
, що доживають до віку х з числа народжених
0
l
. Величину l
0
називають коренем таблиці смертності; значення її звичайно рівняється 1 млн., 100 тис. або 10 тис., але може бути й довільним числом. Останній рядок таблиці смертності відповідає граничному віку ω. Припускається, що кількість людей у віці х > ω рівняється нулю:
1 0
l
w +
= .
Наступний стовпець таблиці смертності дає число померлих у віці х
1
x
x
x
d
l
l
+
=
-
У третьому стовпці таблиці наведені значення ймовірності померти протягом інтервалу таблиці для людини у віці х
/
x
x
x
q
d l
=
Поряд з цими параметрами, які приводяться в таблиці смертності, часто використовується ще трохи пов'язаних з ними величин. З імовірністю вмерти тісно зв'язана ймовірність дожити до віку х+1 рік для людини у віці х, тобто ймовірність прожити ще один рік:
1 1
/
x
x
x
x
p
q
l
l
+
= -
=
Імовірність прожити ще n років
1 1
/
n
x
x n
x
x
x
x n
p
l
l
p p
p
+
+
+ -
=
=
×
× ×
Імовірність померти протягом наступних п років
1
(
) /
n
x
n
x
x
x n
x
q
p
l
l
l
+
= -
=
-
Статистичні дослідження смертності населення показали, що смертність серед чоловіків вище, ніж серед жінок, внаслідок чого в останніх більше висока тривалість життя. У зв'язку зі значними відмінностями рівня смертності серед чоловіків і жінок, особливо в літньому віці, українські страхові компанії, як правило, установлюють різні тарифні ставки для чоловіків і жінок, використовуючи відповідні таблиці смертності. У багатьох же розвинених країнах використовують єдину таблицю смертності для чоловіків і жінок і відповідно єдину систему тарифних ставок.
В актуарній математиці велике значення має ще один демографічний фактор – середня тривалість життя, що залишилася. При практичних розрахунках звичайно використовують наближене значення цієї величини, що позначають
x
e
. Розглянемо схему розрахунку цього показника. Число осіб, що не проживуть і року, дорівнює
x
d , число тих, що прожили 1 повний рік буде рівняти
1
x
d
+
. Що прожили 2 повні роки –
2
x
d
+
, що прожили k повного років –
x k
d
+
. У розрахунок приймається тільки повне число прожитого років, що давало точний результат, якби всі смерті осіб у віці х відбувалися на початку року.
Повне число осіб, які доживуть у віці х із групи чисельністю
x
l
:
1 2
3 1
2 2
3 3
4 1
2 3
1 2
3 2
2 3
3
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x k
k
T
d
d
d
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
w
+
+
+
+
+
+
+
+
+
-
+
+
+
+
=
=
+
+
+
=
-
+
-
+
-
+
=
=
+
+
+
=
å
Розділивши це число на чисельність групи, одержимо приблизне значення середньої тривалості життя, що залишилася, для члена групи у віці х
34

1 1
x
x
x
x k
k
x
x
T
e
l
l
l
w -
+
=
=
=
å
Часто цю величину називають округленим значенням середньої тривалості життя, що залишилася, маючи на увазі, що у розрахунках використовувалося округлене до цілого числа кількість років майбутньої життя для групи чисельністю
x
l .
Приклад.
1. Визначити ймовірність смерті протягом року для чоловіка у віці
40 років.
З таблиці смертності знаходимо:
40 83344
l =
;
41 82199
l =
(
)
40 40 41 40
/
0,0137
q
l
l
l
=
-
=
2. Визначити для чоловіка у віці 40 років імовірність дожити до 60 років.
З таблиці смертності знаходимо:
60 50246
l =
;
20 40 60 40
/
0,603
p
l
l
=
=
3. Знайдемо округлену середню тривалість життя, що залишилася, для чоловіка у віці 65 років.
66 67 68 69 70 65 65 36556 34501 32492 30537 28604 4,2 38723
l
l
l
l
l
e
l
+
+
+
+
+
+
+
+
=
=
=
р.
3.3. Страхування на чисте дожиття
Страхування життя звичайно здійснюється у двох формах: страхування сум (капіталу) і страхування рент (ануїтетів). У першому випадку при настанні страхової події (смерті або дожиття) виплачується одноразово визначена сума грошей, у другому – страховик робить регулярні виплати протягом визначеного періоду часу або довічно. У класичному страхуванні життя мають місце тільки дві страхових події: дожиття до визначеного терміну і смерть у період дії договору.
3.3.1. Очікувана поточна вартість виплат
Найбільш простим варіантом є страхування на чисте дожиття, що полягає в страхуванні визначеної суми грошей на певний строк. У випадку смерті страхувальника в період дії договору страхова сума не виплачується й внески не вертаються.
Визначимо поточну вартість страхових виплат на момент укладання договору страхування. Нехай група страхувальників чисельністю l х
у віці х уклала зі страховиком договір страхування на дожиття строком на п років. Ті, що дожили до закінчення терміну страхування повинні, одержати страхову суму S. Очевидно сумарна виплата, яку повинен здійснити страховик по закінченні строку договору, дорівнює числу тих, що дожили до віку x+n, помноженому на страхову суму
S
l
n
x

. Поточна вартість цієї суми на момент укладання договору:
S
l
V
n
x
n

, де V = 1/(1+ i) – дисконтний множник, i – річна процентна ставка чи річна норма прибутковості. У розрахунку на кожного страхувальника, що уклав договір, це складає величину
35

/
n
x n
x
P V l S l
+
=
(3.1)
Очевидно, що це величина одноразового внеску, що повинен сплатити кожний страхувальник при укладанні договору. Цей же результат легко одержати й іншим шляхом, розраховуючи накопичену вартість фонду, сформованого внесками страхувальників у момент укладання договору. Якщо кожний страхувальник у віці х поклав внесок Р, то первинна вартість цього фонду рівняється Р l х
. Множник нарощення за п років рівняється (1 )
n
i
+
. До моменту закінчення договору накопичена вартість цього фонду складе
(1 )
n
x
Pl
i
+
. Дорівнюючи цю величину до суми страхових виплат
x n
Sl
+
, одержимо
(3.1).
Величину в правій частині формули 3.1 називають актуарною поточною вартістю страхової суми S або очікуваною поточною вартістю.
3.3.2. Прибуток від смертності
Перерозподіл внесків померлих на користь тих, що дожили, дає додатковий прибуток від смерті. Якщо на початку року величина страхового фонду становить
x
F
, чисельність застрахованих
x
l
, величина індивідуального страхового фонду (у розрахунку на одного застрахованого) /
x
x
x
f
F l
=
, то наприкінці року величина страхового фонду збільшиться за рахунок процентного росту до значення
)
1
(
i
F
x

, чисельність застрахованих зменшиться на величину
x
d
, а величина індивідуального страхового фонду стане
1
(1 )
(1 )
1
x
x
x
x
x
x
F
i
f
i
f
l
d
q
+
+
+
=
=
-
-
(3.2)
Річна норма прибутковості для віку х буде дорівнювати:
1 1
x
x
x
x
x
x
f
f
i q
i
f
q
+
-
+
=
=
-
(3.3)
Оскільки динаміка збільшення капіталу й демографічні процеси ніяк не залежать від величини страхової суми, в актуарній математиці прийнято робити всі розрахунки для страхової суми, рівній одиниці. Величину страхового внеску з одиниці страхової суми називають тарифною ставкою або тарифом. Для будь- якої конкретної страхової суми величину страхового внеску легко одержати, множачи тарифну ставку на цю суму.
Для забезпечення єдиного підходу до рішення актуарних задач по страхуванню життя в 1898 р. на ІІ Міжнародному конгресі актуаріїв у Лондоні було прийнято, що для позначення різного роду одноразових платежів використовується заголовна буква А, для регулярних платежів – мала літера а.
При страхуванні на чисте дожиття очікувана поточна вартість страхових виплат у розрахунку на одного страхувальника зі страхової суми, рівній одиниці, позначається наступним символом:
1
:
n
n
x n
x
n
x
n
x
l
A
p
l
n n
+
=
=
(3.4)
36

3.3.3. Комутаційні функції
Для спрощення актуарних розрахунків часто використовуються комутаційні функції, для яких складені спеціальні таблиці. Перша з цих функцій, що використовується в страхуванні на дожиття, визначається формулою:
x
x
x
D
v l
=
(3.5)
Зміст цієї функції дуже простій. Якщо при народженні групи дітей чисельністю
0
l
їх страхують на дожиття з умовою виплати одиничної страхової суми по досягненню віку х, то формула (3.5) дає очікувану поточну вартість суми страхових виплат, тобто сумарну страхову премію. За допомогою комутаційної функції можна представити формулу (3.4) у вигляді
x
n
x
n
x
D
D
A


1
:
(3.6)
3.4. Тарифні ставки по змішаному страхуванню життя
Умови змішаного страхування життя передбачають виплату страхової суми у випадку дожиття, смерті й у зв'язку із втратою працездатності від нещасного випадку. Для виплат за кожним видом страхової відповідальності страховик повинен створити в себе страховий фонд. Крім того, йому необхідні кошти для компенсації витрат на проведення страхових операцій. Тому тарифна ставка по змішаному страхуванню життя складається з:
– нетто-ставки на дожиття;
– нетто-ставки на випадок смерті;
– нетто-ставки на випадок втрати працездатності;
– навантаження.
Розглянемо послідовно процес побудови тарифних ставок.
3.4.1. Одноразова нетто-ставка на дожиття

Візьмемо конкретний приклад: особа у віці 40 років (х=40) укладає договір страхування на дожиття строком на 5 років на суму 100 грн. Якою повинна бути для нього величина одноразового страхового внеску?
Представимо, що такі договори страхування уклали всі сорокалітні особи з показаної таблиці смертності. Після закінчення п'яти років страховій компанії потрібно буде виплатити певне число страхових сум тим, хто доживе до закінчення терміну дії договору. З таблиці смертності знаходимо, що до
45 років доживе 91631 чіл. Виходить, і виплат буде 91631. Страхова сума кожного договору 100 грн. Тому, страховий фонд, необхідний для виплат, повинен становити
1000грн*91631 = 9163100 грн.
Однак на початку страхування він може мати меншу величину, враховуючі, що щороку на нього буде наростати 3 складних відсотки доходу.
Щоб відповідно зменшити цей фонд, тобто знайти його сучасну вартість,
37
застосуємо множник, що дисконтує, за 5 років, рівний при 3%-й нормі прибутковості 0,86261.
9163100 грн. *0,86261 = 7904182 грн.
Отже, щоб через 5 років мати кошти для виплати страхових сум по дожиттю, страхова компанія повинна мати у своєму розпорядженні фонд
7904182 грн. Цю суму й необхідно одноразово зібрати зі страхувальників.
Різниця між сумою внеску й сумою виплат буде покрита за рахунок 3%-го доходу на зібрані кошти. 7904182 грн. є сучасною вартістю 9163100 грн., що будуть виплачені через 5 років.
Щоб визначити розмір внеску кожного із застрахованих у цей загальний фонд, розділимо отриману суму на число осіб на початок страхування
(див. таб. смертності, х = 40).
Одержимо:
7904182 грн/93597 = 84 грн. 45 коп.
Це й буде одноразова нетто-ставка на дожиття.
Розмір тарифної ставки був, відповідно, розрахований таким чином:
91631 * 0,85261/93597 *100 = 84,45.
91631 – це число осіб, які доживають до 45 років. Воно позначається символом l x+n
,де х – вік на початок страхування, n-n – строк страхування.
0,86261 – множник, що дисконтує υ
n
;
93597 – число осіб на початок страхування l х
;
100 – страхова сума S.
Звідси одержуємо формулу
(
)
,
n
x n
n
x
x
l
S
E
l
n
+
×
=
(3.7) де
n
Е
х
– одноразова нетто-ставка по страхуванню на дожиття для осіб у віці х років строком на n років.
( )
1 1
n
n
i
n
=
+
(3.8)
3.4.2. Одноразова нетто-ставка на випадок смерті
Припустимо, що особа у віці 40 років укладає договір страхування на випадок смерті строком на 5 років на 100 грн. Якщо розраховуючи нетто-ставку на дожиття необхідно знати число осіб, які доживуть до 45 років, то тепер необхідно знати кількість застрахованих які не доживуть до 45 років.
По таблиці смертності знаходимо, що у віці 40 років звичайно вмирає
1145 чоловік, у віці 41 – 1198, 42 – 1194, 43 – 1208, 44 – 1212. Тому, страхової компанії необхідно виплатити у зв'язку з випадками смерті на першому році страхування 114500 грн., на другому – 119800 грн. Помноживши ці суми на відповідні множники, які дисконтуються, знайдемо сучасну вартість майбутніх п'ятирічних виплат у випадках смерті, при нормі прибутковості 3 %
114500 0,97087 119800 0,94260 119400 0,91514 120800 0,88849 121200 0,86261 545233,72 грн.
x
x
x
x
x
+
+
+
+
+
=
38

Розділимо отриману суму на число осіб, що вступають у страхування:
545233,72 / 83344 6 грн. 54 коп.
=
Таким чином, особи у віці 40 років, уклавши договір страхування на випадок смерті на страхову суму 100 грн., повинні при укладанні договору внести в загальний страховий фонд 6 грн. 54 коп.
Одноразова нетто-ставка по страхуванню на випадок смерті для осіб у віці х років при терміну страхування на n років розраховується за формулою
(
)
2 1
1
n
x
x
x n
n
x
x
d
d
d
S
A
l
n n
n
+
+ -
+
+ +
=
,
(3.9) де
x
d
– число вмираючих при переході від віку х до віку х +1 років;
x
l
– число осіб, які вступають у страхування;
n

– дисконтуючий множник за n років;
S – 100грн.
Комутаційні числа
,
x n
n
x
x
D
S
E
D
+
×
=
на дожиття
(3.10)
(
)
x
x n
n
x
x
M
M
S
A
D
+
-
=
, на випадок смерті
(3.11)
3.4.3. Страхові премії
Основні визначення. Раніше була розглянута теорія страхових виплат для різних видів страхування життя й була визначена одноразова вартість страхових виплат на момент укладання договору. Однак довгострокові контракти по страхуванню життя оплачуються одноразовим внеском тільки в рідких випадках - занадто велика їхня вартість. Як правило, страхова премія сплачується в розстрочку – щорічно, щокварталу, щомісяця. Якщо при одноразовій оплаті страхувальник повністю виконує свої зобов'язання на момент укладання договору, то при періодичній сплаті внесків вони виконуються в розстрочку. Очевидно, що від способу сплати страхової премії страхувальником вартість зобов'язань страховика ніяк не залежить.
При розрахунку величини внесків, що сплачуються періодично, необхідно враховувати як процентний дохід від їхнього інвестування, так і демографічні фактори (смертність). Останній фактор впливає на величину внесків, оскільки далеко не всі страхувальники встигають до настання смерті сплатити всі передбачені контрактом внески. Якщо величина внесків, що сплачуються періодично, постійна, то сукупність цих внесків являє собою постійну ренту платежів. У зв'язку з тим, що договір страхування набуває чинності тільки після одержання першого внеску, рента страхових платежів завжди є приведеною (рента постнумерандо).
39

Основа для розрахунку величини страхових внесків – умова рівності зобов'язань страховика й страхувальника на момент укладання договору: очікувана поточна вартість майбутніх страхових виплат повинна дорівнює очікуваної поточної вартості майбутніх поточних внесків. Якщо договір страхування строком на n років укладений у віці x , очікувана поточна вартість страхових виплат дорівнює A , а невідома величина щорічних страхових внесків дорівнює P , то це рівняння має вигляд
:
x n
A Pa
=  ,
(3.12) де
n
x
a
:


– очікувана поточна вартість ренти із щорічними платежами одиничної величини.
Звідси щорічний внесок
:
x n
A
P
a
=

(3.13)
Формула (3.13) показує, у скільки разів величина щорічного внеску менше величини внеску, що сплачується одноразово, тому величину
n
x
a
:


часто ще називають коефіцієнтом розстрочки. Якщо зменшення чисельності страхувальників і процентний дохід від внесків дорівнюють нулю
(
)
0


i
const,
l
, то коефіцієнт розстрочки буде в точності дорівнює тривалості строку платежів n .
Часто період сплати страхової премії становить лише частину терміну дії договору страхування. Протягом періоду сплати страхової премії страхувальник зобов'язаний повністю внести підлягаючій сплаті внески, тобто повністю виконати свої зобов'язання. Строк сплати премій будемо позначати буквою m . Перша премія вноситься на початку першого року страхування, остання – на початку m – року. Величина щорічного внеску визначається тоді формулою
m
x:
a
A
P



(3.14)
Період від дати сплати останнього внеску до першої (або єдиної) страхової виплати називають вичікувальним. При страхуванні капіталу на дожиття вичікувальний період триває до закінчення строку договору страхування. При страхуванні ренти вичікувальний період закінчується з початком періоду виплат ренти.
3.4.4. Нетто-премії для елементарних видів страхування
Страхування на чисте дожиття. Розглянемо спочатку найбільш просту ситуацію, коли вичікувальний період відсутній і сплата страхової премії відбувається протягом усього терміну дії договору страхування. Нехай вік застрахованого x років, термін страхування
n
років дорівнює періоду сплати премії. Відповідно до формули
40

n
x:
a
A
P



величина страхового внеску з одиничної страхової суми дорівнює одноразової вартості страхування, діленої на відповідний коефіцієнт розстрочки:
1
:
1
:
x n
x n
x:n
A
P
a
=

(3.15)
Період сплати внесків або може збігатися з терміном дії договору, або бути менше його. В останньому випадку на полісі вказується вік застрахованого, по досягненні якого поліс повинен бути повністю оплачений.
Якщо тривалість періоду сплати страхової премії дорівнює m років, то величина щорічного внеску відповідно до формули
x:m
A
P
a
=

дорівнює
1
:
1
:
x n
x n
x:m
A
P
a
=

. (3.16)
Приклад. Визначити величину річних внесків при страхуванні на дожиття на 5 років на суму 10000 грн. людини у віці 40 років виходячи з річної норми прибутковості 5 %.
Рішення:
1 40: 5 1
40: 5 40 5
:
A
P
a
=

Формула 3.10 40 11839
D =
45 8613
D =
Одноразова вартість контракту для чоловіків:
45 1
40: 5 40 8613 0,728 11839
x n
x
D
D
A
D
D
+
=
=
=
=
Коефіцієнт розстрочки:
40 45 40 5 40 158589 157658 4,424 11839
x
x n
:
x
N
N
N
N
a
D
D
+
-
-
-
=
=
=
=

Величина річного внеску з одиничної страхової суми:
1 40: 5 1
40: 5 40 5 0,728 0,165 4,424
:
A
P
a
=
=
=

Річний внесок зі страхової суми в 10000 грн. складе:
Р = 100000 х 0,165 = 1650 грн.
Страхування рент. Страхування рент є різновидом страхування на дожиття, коли замість одноразової виплати по дожиттю до строку закінчення договору передбачено ряд регулярних страхових виплат протягом деякого періоду часу або довічно (за умови дожиття до строків виплати). Тому на
41
додаток до періоду сплати страхової премії й вичікувальному періоду, передбаченими при страхуванні на дожиття, тут виділяють також період страхових виплат, протягом якого страховик виконує свої фінансові обов'язки стосовно страхувальника.
Розглянемо спочатку більше простий випадок, коли вичікувальний період відсутній. Будемо вважати, що період виплат довічної ренти (пенсії) починається по досягненні людиною визначеного віку
p
, а договір страхування укладений у віці x й передбачений період сплати внесків протягом m p x
=
- років. Тоді очікувана поточна вартість цієї відстроченої на m років ренти на момент укладання договору страхування дорівнює
p
x m
x
m
x
x
N
N
a
D
D
+
=
=

(3.17)
Коефіцієнт розстрочки, що відповідає заданому періоду сплати страхової премії, дорівнює
x
p
x
x m
x: m
x
x
N
N
N
N
a
D
D
+
-
-
=
=

(3.18)
Розділивши формули (3.17) на (3.18), отримаємо:
:
x
m
x m
x
m
x
x m
x m
a
N
P
a
N
N
+
+
=
=
-


(3.19)
Якщо період сплати внесків менше строку відстрочки, то величина щорічного внеску визначається за формулою
:
x
p x
p
x
p x
x
x m
x m
a
N
P
a
N
N
-
-
+
=
=
-


. (3.20)
Для термінової ренти тривалістю n років одержимо
:
:
:
p x
x n
p
p n
p x
x n
x
x m
x m
a
N
N
P
a
N
N
-
+
-
+
-
=
=
-


. (3.21)
Приклад. Страхувальник у віці 40 років уклав договір страхування пенсії, відповідно до якого, починаючи з 65 років довічно, йому буде виплачуватися пенсія в розмірі 10000грн. на початку кожного року. Визначити розмір річних внесків, які будуть сплачені страхувальником, починаючи з 40 і до 65 років.
Рішення.
m
x
x
m
x
m
x
x
m
x
m
N
N
N
a
a
P





:




65 40 25 40 65 13274 0,091 158412 13274
N
P
N
N
=
=
=
-
-
40 158412
N =
65 13274
N =
Річні внески зі страхової суми 10000грн. складуть:
Р= 10000 х 0,091 = 910 грн.
42

Премія, навантажена на витрати. Брутто-премія. Дотепер всі розрахунки розміру страхової премії були засновані на рівності очікуваної поточної вартості страхових виплат і страхової нетто-премії. Нетто-премія забезпечує лише покриття очікуваних страхових виплат. Операції за страховим договором вимагають певних витрат (витрати страхування), для покриття яких понад нетто-премію стягується ще навантаження. Сума нетто-премії й навантаження називається брутто-премією.
Якщо частка навантаження становить

відсотків, то брутто-премія, позначимо її
БП
, може бути знайдена за формулою:
100 100
НП
БП
j
=
×
-
, (3.22) де

– нетто-премія.
Звичайно розрізняються три види витрат.
1.
Витрати придбання (аквізаційні видатки) часто ще називають початковими витратами. Вони пов'язані із придбанням поліса й складаються з комісійних страхового агента, витрат по оформленню й реєстрації поліса, вартості консультацій, медичного огляду, реклами й т.д.
Для простоти часто до витрат придбання відносять тільки комісійні страхового агента (брокера), інші ж витрати, які в постійно діючій страховій компанії мають регулярний характер, відносять до адміністративних. Такий поділ зручний, оскільки оплата витрат придбання поліса відбувається в момент надходження першого внеску, оплату інших витрат важко прив'язати до якогось конкретного моменту часу. Ще одна перевага такого поділу в тому, що всі витрати придбання ставляться на рахунок конкретного агента (брокера) за конкретним договором з конкретним терміном дії й страховою сумою, а інші витрати носять загально загальноустановчий характер і практично не залежать від характеристик договору.
2.
Витрати зборів (витрати поновлення) пов'язані з розсиланням нагадувань про сплату премії, а також з виплатою регулярних комісійних агентові, що продав поліс. Витрати стягуються в дні сплати регулярних внесків.
3.
Адміністративні витрати містять у собі видатки по забезпеченню функціонування страхової компанії (зарплата, оренда, плата за комунальні послуги, вартість, обробки даних, податки, плата за ліцензію й т.п.), а також
інші видатки, що не ввійшли в попередні пункти.
За способом розрахунку розрізняються три типи витрат:
– прямо пропорційні страховій сумі.
– прямо пропорційні премії (наприклад, видатки по інкасації страхових платежів).
– не залежні від премії або страхової суми (наприклад, вартість виготовлення полісів, медичного огляду й т.п.).
Витрати можуть також представляти довільну комбінацію перерахованих типів.
43

Для простоти будемо користуватися величиною витрат на одиницю страхової суми; відповідні витрати придбання позначимо a
, видатки по збиранню страхових платежів –

, щорічні адміністративні видатки –

Будемо вважати, що витрати придбання оплачуються повністю при одержанні першого внеску, адміністративні видатки провадяться рівномірно протягом усього терміну дії договору (
n
років), видатки по збиранню платежів
– протягом періоду сплати внесків (
m
років). Рівняння для визначення розміру щорічної брутто-премії з одиничної страхової суми має вигляд балансу: очікувана поточна вартість страхової брутто-премії дорівнює сумі очікуваних поточних вартостей страхових виплат і витрат на момент початку договору:
n
x
m
x
m
x
а
а
П
A
a
П
:
:
:













, (3.23) де
m
й
n
– тривалість періоду сплати внесків і термін дії договору,
П
– щорічна брутто-премія,
А
– поточна вартість очікуваних страхових виплат.
Щорічна брутто-премія
m
x
n
x
m
x
а
а
P
а
P
P
P
P
П
:
:
:
;
);
(
)
1
(
1


















. (3.24)
Три доданки в дужках позначають відповідно нетто-премію, щорічну частину оплати витрат придбання й щорічну частину оплати адміністративних витрат. Звідси ясно, що страхувальник оплачує витрати придбання в розстрочку протягом усього періоду сплати внесків, хоча комісійні за продаж поліса сплачуються агентові повністю при укладанні договору. Це означає, що вищезгадані видатки несе страховик, як би надаючи страхувальникові довгострокову позичку, а останній погашає заборгованість протягом періоду сплати внесків. Якщо договір страхування припиняється до закінчення періоду сплати внесків, страховик утримує непогашену заборгованість.
Приклад. Розрахувати одноразову брутто-премію для чистого дожиття строком на 5 років для чоловіка у віці 40 років зі страхової суми 10 тис. грн. для річної процентної ставки 5%. Видатки придбання становлять 2 % від страхової суми (α =0,02), видатки по збиранню платежів – 3 % від величини платежу
(β = 0,03), адміністративні видатки – 0,3% від страхової суми щорічної дії поліса (γ = 0,003).
Рішення:
m
x
n
x
m
x
а
а
P
а
P
P
P
P
П
:
:
:
;
);
(
)
1
(
1



















\
:m
x
a
A
P


Одноразова вартість контракту для чоловіків:
44

728
,
0 11839 8613 40 45 5
1
:
40





D
D
D
D
A
x
n
x
Нетто-премія:
728
,
0 1
728
,
0
\
:



m
x
a
A
P


Видатки придбання:
02
,
0 1
02
,
0
\
:



m
x
a
P




Адміністративні видатки:
424
,
4 003
,
0
\
:
|
:



m
x
n
x
a
a
P






=0,0132
Коефіцієнт розстрочки:
424
,
4 11839 157658 158589 40 45 40 5
40








D
N
N
D
N
N
a
x
n
x
x
:


785
,
0 03
,
0 1
424
,
4 003
,
0 02
,
0 728
,
0
)
(
)
1
(
1













P
P
P
П
Сума платежу становить: 10000 х 0,785 = 7850 грн.
Структура брутто-премії: нетто-премія – 92,73% (7280/7850 х100)
Навантаження: 7,25%, у тому числі видатки на збори 3%, видатки на придбання – 2,55% (0,02 х 10000 /7850 х100), адміністративні видатки – 1,7%
(132,72/7850 х100).
3.5. Страхування рент
У багатьох випадках краще для страхувальника є неотримання одноразової виплати, а регулярний дохід протягом певного періоду або довічно.
Регулярні виплати через рівні проміжки часу (щомісяця, щокварталу, щорічно) називають страховою рентою або ануїтетом. Страхова рента відрізняється від звичайної фінансової ренти тим, що виплачується тільки за умови, що її одержувач живий.
3.5.1. Звичайна довічна рента


Поділіться з Вашими друзьями:
1   2   3   4


База даних захищена авторським правом ©divovo.in.ua 2017
звернутися до адміністрації

войти | регистрация
    Головна сторінка


загрузить материал