Методичні рекомендації до самостійного виконання практичних завдань з дисципліни



Pdf просмотр
Сторінка1/4
Дата конвертації25.12.2016
Розмір1.08 Mb.
ТипМетодичні рекомендації
  1   2   3   4

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ
ДЕРЖАВНИЙ ВИЩИЙ НАВЧАЛЬНИЙ ЗАКЛАД
«НАЦІОНАЛЬНИЙ ГІРНИЧИЙ УНІВЕРСИТЕТ»
















АКТУАРНІ РОЗРАХУНКИ

Методичні рекомендації

до самостійного виконання практичних завдань з дисципліни студентами напряму підготовки 6.030508 Фінанси і кредит

Дніпропетровськ
2014


МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ
ДЕРЖАВНИЙ ВИЩИЙ НАВЧАЛЬНИЙ ЗАКЛАД
«НАЦІОНАЛЬНИЙ ГІРНИЧИЙ УНІВЕРСИТЕТ»



ФІНАНСОВО-ЕКОНОМИЧНИЙ ФАКУЛЬТЕТ
Кафедра економічного аналізу і фінансів






АКТУАРНІ РОЗРАХУНКИ

Методичні рекомендації

до самостійного виконання практичних завдань з дисципліни студентами напряму підготовки 6.030508 Фінанси і кредит
Дніпропетровськ
НГУ
2014

І.М. Цуркан
Актуарні розрахунки. Методичні рекомендації до самостійного виконання практичних завдань з дисципліни студентами напряму підготовки 0.030508
Фінанси і кредит / І.М. Цуркан, О.Г. Федорова; М-во освіти і науки України,
Нац. гірн. ун-т. – Д. : НГУ, 2014. – 76 с.
Автори:
І.М. Цуркан, канд. екон. наук, доцент;
О.Г. Федорова, асистент
Затверджено до видання редакційною радою НГУ (протокол № 12 від
03.12.2014) за поданням методичної комісії напряму підготовки 6.030508
Фінанси і кредит (протокол № 1 від 05.11.2014).
Методичні матеріали призначено для самостійної роботи студентів напряму 6.030508 Фінанси і кредит в процесі підготовки до модульного контролю з практичних занять дисципліни «Актуарні розрахунки».
Розглянуто теоретичні відомості про основні математичні моделі й методи визначення тривалості життя, розміру разових і періодичних премій, страхових надбавок стосовно різних видів страхування життя і пенсійних схем.
Подано рекомендації до розв’язування й приклади типових практичних задач, а також задачі для практичних (самостійних) занять студентів.
Наведено критерії оцінювання
індивідуального контрольно- розрахункового завдання.
Рекомендації орієнтовано на активізацію виконавчого етапу навчальної діяльності студентів.
Відповідальна за випуск завідувач кафедри економічного аналізу та фінансів д-р екон. наук, проф. О.В. Єрмошкіна.

ЗМІСТ
ВСТУП 5
Практичне завдання 1. ЕЛЕМЕНТИ ФІНАНСОВОЇ МАТЕМАТИКИ.
ФІНАНСОВІ РЕНТИ…........................................................................... 6
Теоретичні відомості про процентні ставки, нагромадження та сучасна вартість……………………………………………...………. 6 1.1 Ефективна процентна ставка………………………………………. 6 1.2 Прості і складні відсотки………………..…………………………. 6 1.3 Нагромадження…………………...………………………………… 7 1.4 Номінальна відсоткова ставка……………………………..………. 8 1.5 Дисконтування…………………………..………………………….. 9 1.6 Облікова ставка…………….……………………………………….. 9 1.7 Фінансові ренти………………...…………………………………… 10 1.8 Завдання для практичних (самостійних) занять..………………… 14
Практичне завдання 2. РОЗРАХУНОК ТАРИФНИХ СТАВОК ЗА
РИЗИКОВИМИ ВИДАМИ СТРАХУВАННЯ……………………. 16
Теоретичні відомості про склад та структуру тарифної ставки, про основні показники страхової статистики………………... 16 2.1 Основи розрахунку тарифу………………………………………… 16 2.2 Показники страхової статистики……………………………..…… 19 2.3 Основні принципи розрахунку страхової премії………………… 21 2.3.1 Основна частина нетто-ставки……………………………..…… 21 2.3.2 Частковий збиток…………………………………………..…….. 21 2.3.3 Збитковість………………………………………………..……… 22 2.3.4 Верхня межа очікуваних збитків и ризикова надбавка………... 22 2.4 Розрахунок тарифних ставок за ризиковими видами страхування 24 2.5 Визначення тарифних ставок для нових видів страхування……. 27 2.6 Завдання для практичних (самостійних) занять….………………. 28
Практичне завдання 3. ОСНОВИ ТАРИФНИХ РОЗРАХУНКІВ
СТРАХУВАННЯ ЖИТТЯ…………………………………………….. 31
Теоретичні відомості про основи тарифних розрахунків по страхуванню життя, структуру таблиць смертності
31 3.1 Особливості побудови тарифної ставки по страхуванню життя
і її структура…………………………………………..………………… 31 3.2 Таблиці смертності……………………………….………….…….. 33 3.3 Страхування на чисте дожиття…………………………………….. 35 3.3.1 Очікувана поточна вартість виплат……………………………… 35 3.3.2 Прибуток від смертності…………………………………………. 37 3.3.3 Комутаційні функції…….……………………………………..… 37 3.4 Тарифні ставки по змішаному страхуванню життя….………..…. 37 3.4.1 Одноразова нетто-ставка на дожиття…….………………..……. 37 3.4.2 Одноразова нетто-ставка на випадок смерті……………………
38 3

3.4.3 Страхові премії………………………………………………….... 39 3.4.4 Нетто-премії для елементарних видів страхування………..….. 40 3.5 Страхування рент…………………………………………….…….. 45 3.5.1 Звичайна довічна рента………………………………….……….
45 3.5.2 Приведена довічна рента……………………………..………….. 46 3.5.3 Комутаційні функції……..……………………………..………… 47 3.5.4 Термінові ренти…………………………………………….…….. 47 3.5.5 Відкладені ренти…………………………………………….……. 48 3.6 Завдання для практичних (самостійних) занять…….……………. 49
РОЗРАХУНКОВІ ЗАВДАННЯ ДЛЯ САМОСТІЙНОГО
ВИКОНАННЯ…………………………………………………………... 52
КРИТЕРІЇ ОЦІНЮВАННЯ ВИКОНАННЯ ІНДИВІДУАЛЬНОГО
КОНТРОЛЬНО-РОЗРАХУНКОВОГО ЗАВДАННЯ…………………. 61
СПИСОК РЕКОМЕНДОВАНОЇ ЛІТЕРАТУРИ……………………… 62
ДОДАТОК 1. Таблиця смертності…………………………………….. 63
ДОДАТОК 2. Таблиця значений комутаційних функцій……………. 66
ДОДАТОК 3. Довідковий матеріал……………………………………. 75 4

ВСТУП
Інтерес до теорії страхування життя розвивається в Україні разом з розвитком страхового ринку – важливої частини вільної ринкової економіки.
Актуарний аналіз, зокрема, стає невід'ємним аспектом діяльності серйозних страхових компаній і банків. Страхування як система захисту майнових
інтересів громадян, організацій і держави є необхідним елементом сучасного суспільства. Воно забезпечує безперервність всіх видів суспільно корисної діяльності, а також підтримку рівня життя, доходів людей при настанні певних подій – страхових випадків.
Метою методичних рекомендацій до самостійної роботи студентів з практичних занять є забезпечення студентів інформацією щодо:
1) теоретичних відомостей за наступними питаннями:

розрахунок майбутньої і сучасної вартості основних фінансових рент;

розрахунок показників страхової статистики;

розрахунок тарифних ставок за ризиковими видами страхування;

розрахунок тарифних ставок для нових видів страхування;

розрахунок платежів для страхування на чисте дожиття, різних схем пенсійного страхування;

розрахунок комутаційних функцій;

розрахунок нетто- та брутто- премій для страхування на чисте дожиття, рент.
2) підготовки до контролю з практичних занять (рекомендації до вирішення типових практичних задач, приклади розв’язування типових задач, задачі, призначені для практичних (самостійних) занять студентів).
3) критерії оцінювання індивідуального контрольно-розрахункового завдання.
5

Практичне заняття 1

ЕЛЕМЕНТИ ФІНАНСОВОЇ МАТЕМАТИКИ. ФІНАНСОВІ РЕНТИ
Ціль практичного заняття:
1. Мати уявлення:
– про базові поняття теорії імовірності і фінансової математики.
Знати:
– види процентних ставок;
– основні види фінансових рент.
2. Уміти:
– знаходити майбутню і сучасну вартість основних фінансових рент.
Теоретичні відомості про відсоткові ставки, нагромадження
й сучасну вартість

1.1. Ефективна відсоткова ставка

В страхових операціях премії і страхові виплати пов'язують із конкретними моментами або періодами часу. У договорах страхування фіксуються терміни, дати, періодичність виплат. Необхідність обліку часового фактору очевидна – зрозуміло, що отримані страховою компанією у вигляді премій суми якийсь час «працюють» (накопичуються), і страховий тариф повинен визначатися з урахуванням цієї «роботи». Наша мета – розглянути механізми нарощування отриманих страхових сум.
Почнемо з найбільш важливого параметра фінансових обчислень – ефективної відсоткової ставки.
Припустимо, що в момент t ми позичили на якийсь час h певну суму S.
Загально прийнято, що в момент t + h повернення боргу ми повинні повернути більшу суму S + Δ S. Сума Δ S є нагородою власникові основного капіталу S за те, що його кошти використовувалися іншою людиною. Зазвичай її вимірюють у відносних одиницях; величина
S
S
i
/


називається ефективною відсотковою ставкою за розглянутий проміжок часу. Відповідно, якщо ми позичаємо суму S
(кладемо на свій рахунок у банку, вносимо плату за страховку, вносимо внесок у пенсійний фонд), то через час h ми можемо розраховувати на певний дохід
iS
S


від інвестування приналежного нам капіталу S.
Відсоткова ставка і, як правило, визначається у відсотках, однак обчислення проводиться з величиною і /100. Наприклад, фраза «річна відсоткова ставка дорівнює 20%» або запис «і = 20%» означає, що в розрахунках використовується величина і = 0,2.
1.2. Прості й складні відсотки
Припустимо тепер, що сума S може інвестуватися у два послідовних проміжки часу (t
0,
t
1
) і (t
1
, t
2
). Відсоткові ставки на цих проміжках дорівнюють і
1
і і
2
відповідно.
6

Існують дві схеми обчислення доходу Δ S на об'єднаному інтервалі (t
0,
t
2
):
(1) принцип простих відсотків припускає, що відсотки нараховуються тільки на основний капітал.
Тому, Δ S= Sі
1
+ Sі
2
Відповідно, підсумкова відсоткова ставка і = Δ S/ S= і
1
+ і
2
(2) принцип складних відсотків припускає, що відсотки нараховуються не тільки на основний капітал, але й на вже зароблені відсотки. Тому наприкінці другого інтервалу часу основний капітал S зросте до величини S + ΔS =
= S (1+і
1
)·(1+ і
2
). Відповідно, підсумкова відсоткова ставка і визначається з умови
1+ і = (1+ і
1
) (1+ і
2
), тобто і = і
1
+ і
2
+ і
1
і
2
На теперішній час прийнято використовувати принцип складних відсотків при визначенні доходу від вкладення коштів.

1.3. Нагромадження
Виберемо деякий проміжок часу в якості одиничного (як правило, це буде рік) і припустимо, що відсоткова ставка за цей проміжок дорівнює і.
Припустимо, що в момент t
0
= 0 сума S інвестується на n одиниць часу.
Принцип складних відсотків передбачає, що в момент t
0
+ n капітал S перетвориться в суму:
n
i
S
n
S
)
1
(
)
(


(1.1)
Схема нагромадження (1.1) дозволяє одержати накопичену суму у випадку, коли послідовні в часі ставки і
1
, і
2
, …, і
m фіксуються на періоди n
1
, n
2
,…,n m відповідно:
S(n) = S
0
(1+ і
1
)
n1
(1+ і
2
)
n2
·…· (1+ і
m
)
n m (1.2)
1.3.1. Ефективна відсоткова ставка на частковому тимчасовому проміжку
Розглянемо тепер питання про те, як справедливим образом визначити дохід на капітал, що інвестований на час m
n
Зафіксуємо одиничний часовий проміжок (наприклад, один рік) і розіб'ємо його на m рівних частин (у страховій практиці як правило, m = 2, 4,
12, тобто частинами є півріччя, квартал, місяць).
Нехай і – ефективна відсоткова ставка на одиничному проміжку.
Позначимо ефективну відсоткову ставку для проміжку 1/m через
( )
*
m
i
Завдання полягає у визначенні і
0
(m)
так, щоб «робота» грошей на об'єднанні проміжків довжиною 1/ m кожного приводила до такої ж накопиченої суми, що й ефективна відсоткова ставка і на одиничному проміжку.
Оскільки на одиничний відрізок можна дивитися як на m послідовних відрізків довжиною 1/m кожний, застосовуючи формулу (1.1) ми одержимо, що
( )
*
(1 )
(1
)
m
m
S
i
S
i
× +
= × +
, тому:
( )
1/
*
(1 )
1
m
m
i
i
=
+
-
(1.3)
7

Розглядаючи відрізок [0, n/ m] як n послідовних відрізків довжиною 1/m кожний і застосовуючи формули (1.1) і (1.2), ми одержимо для суми S(t), накопиченої до моменту t
= n/ m, наступне вираження:


t
m
n
n
m
n
m
i
S
i
S
i
S
i
S
t
S
)
1
(
)
1
(
)
1
(
)
1
(
)
(
/
/
1
)
(
*












(1.4)
Оскільки будь-яке дійсне число t можна скільки завгодно точно наблизити раціональними числами, припускаючи безперервність функції S(t), ми одержимо, що формула
t
i
S
t
S
)
1
(
)
(


(1.5) вірна для кожного t > 0.
Формула (1.3) описує процес нагромадження коштів у ситуації, коли прийнятий принцип складних відсотків, і є одною з основних формул фінансової математики.
Для цілого числа років користуються формулою (1.5), для дробової частини періоду нагромадження – формулою:
)
1
(
)
1
(
)
(
0
bi
i
S
t
S
a



(1.6) де а – ціла частина;
b
– дробова частина;
n= a+b.
1.4. Номінальна відсоткова ставка
Як відзначалося, у фінансових операціях фіксується одиничний часовий проміжок, як правило, один рік. Однак нарахування відсотків доводиться робити кілька разів на рік - по півріччях, кварталах.
Якщо період нарахування менше року, то річна ставка в цьому випадку називається номінальної
Нарахування відсотків по номінальній відсотковій ставці провадиться по формулі складних відсотків
m
n
m
j
S
n
S



)
1
(
)
(
(1.7) де j – номінальна процентна ставка;
m
– число періодів нарахування в році;
n
– число років інвестування.
S
– первісний капітал;
S(n)
– нарощена вартість.
Чим більше періодів нарахування в році, тим швидше йде процес нарощування капіталу. Річна ставка, що забезпечує той же дохід, що й m– разове нарахування % по номінальній ставці j, називається ефективною ставкою i. «Ефективна», а також «фактична» опускається й параметр і називають відсотковою ставкою. Поруч із цим терміном і називають ставкою
інвестиційного доходу, нормою прибутку, у давній російській літературі нормою росту. За фінансовим результатом ефективна ставка еквівалентна номінальної.
8

nm
n
m
j
i
)
1
(
)
1
(



1
)
1
(



m
m
j
i
m
i
j
m
)
1
)
1
((
1



(1.8) де i – ефективна ставка;
j
– номінальна відсоткова ставка;
m
– число періодів нарахування в році;
n
– число років інвестування.
За номінальною процентною ставкою можна проводити дисконтування m раз у році.
nm
m
j
n
S
S
)
1
(
)
(


(1.9)
«18% річних з поквартальним нарахуванням відсотків». Означає, що і
(4)
= 18%, j
(4)
= 4,5%.
1.5. Дисконтування
Теперішня вартість. В страховій практиці при визначенні страхової премії у відповідний момент часу використовується сума Р(t), щоб через t років накопичена сума становила S(t).
Величина Р(t) – теперішня (поточна, приведена) вартість.
Процес відшукання теперішньої вартості суми S називається дисконтуванням (приведенням до моменту t=0). Різницю S – Р називають дисконтом.
Приведена вартість одиничної суми (S(t) = 1) позначається v(t). v(t)
=
t
t
i
i




)
1
(
)
1
(
1
(1.10)
Величина v(t) =
t
i
i




)
1
(
1 1
називається коефіцієнтом дисконтування; за його допомогою сучасна вартість суми S(t) приймає вигляд:
t
v
t
S
t
P
)
(
)
(

(1.11)
1.6. Облікова ставка

Припустимо, що в момент t
0
= 0 ми даємо позику на суму S. Тоді в момент t=1 нам повинні повернути суму S (1+ і), яка складається з двох частин: повернення основного капіталу S і відсотків на капітал
iS
S


Сума S і в момент t=1, будучи приведеною до моменту t
0
= 0, має цінність


1 1



i
i
S
. Тому відсотки на капітал можуть бути виплачені і заздалегідь, в момент t
0
= 0 отримання позики. Ці відсотки, які виплачуються вперед, становлять
)
1
/(
i
i
d


від суми позики S. Величина d називається ефективною обліковою ставкою за одиницю часу. Облікова ставка може бути виражена через коефіцієнт дисконтування v:


 1
d
,
(1.12)
9

Припустимо тепер, що сума S=1 дається в борг терміном 1/m із завчасною виплатою відсотків. Ефективна процентна ставка:
1
)
1
(
/
1
)
(
*



m
m
i
i
Саме ця сума буде виплачена в момент t=1/m у вигляді відсотків. Якщо її привести до моменту t
0
= 0, то в силу формули (1.9) вона матиме цінність
 
m
m
m
i
i
i
1 1
*
)
1
(
1 1







. Оскільки
)
1
/(
d
d
i


для ефективної облікової ставки
)
(
*
m
d
терміном 1/m отримаємо формулу:
m
m
d
d
1
)
(
*
)
1
(
1



(1.13)
Однак у фінансовій математиці прийнято працювати не з ефективними обліковими ставками терміном 1/m, а з так званими номінальними обліковими ставками
)
(
*
)
(
m
m
d
m
d


(1.14)
З формули (1.13) ми маємо:
m
m
d
m
d
1
)
(
)
1
(
1
(



(1.15)
Величину називають номінальною обліковою ставкою, яка нараховується з частотою m. Формули (1.14) і (1.15) дуже важливі при розрахунку рент, страхових премій, пенсій.
1.7. Фінансові ренти

Страхові операції дуже часто пов'язані не з разовими платежами, а з певною їхньою послідовністю в часі. Прикладами можуть служити оплата премій, виплата пенсій, надходження доходів від інвестицій. Такі послідовності платежів називаються потоками платежів. Окремий платіж називається членом потоку.
Потік платежів, усі члени якого позитивні, а часовий інтервал між членами однаковий, називається фінансовою рентою або ануїтетом. Сплата премій у розстрочку й виплата пенсій - приклади рент.
Основні терміни. Розмір окремого платежу називається членом ренти; часовий проміжок між двома послідовними платежами – періодом ренти; часовий проміжок від початку першого періоду до кінця останнього - терміном ренти.
Ренти діляться по кількості виплат протягом року на річні (виплата проводиться один раз на рік) і р – термінові (р – кількість виплат у році).
По величині членів ренти діляться на постійні (з однаковими платежами)
і перемінні (розміри платежів змінюються за яким-небудь законом).
Термінові ренти. Якщо число рівних тимчасових інтервалів обмежено ануїтет називають терміновим.
Розглянемо n послідовних одиничних (один рік) проміжків часу (0,1),
(1,2), … , (n – 1, n).
Серія з n виплат, розміри яких дорівнюють 1, здійснюваних наприкінці кожного проміжку, тобто в моменти 1, 2, .., n, називається рентою постнумерандо.
10

Серія з n виплат, розміри яких дорівнюють 1, що здійснюються на початку цих проміжків, тобто в моменти 0,1,2, …, n – 1, називається рентою пренумерандо.
Розходження між рентами пов'язане з вибором початку відліку.
Ануїтет постнумерандо
. Пряма задача оцінки термінового ануїтету при заданих величинах регулярного надходження А и процентній ставці і припускають оцінку майбутньої вартості ануїтету.
На перше грошове надходження А
1
нараховуються складні відсотки на (n-
1) період, і воно наприкінці n-го періоду стане рівним
1 1
)
1
(


n
i
A
. На друге грошове надходження А
2
нараховуються складні відсотки за (n-2) періоду, і воно стане рівним
2 2
)
1
(


n
i
A
і т.д. На передостаннє грошове надходження А
n-1
відсотки нараховуються за один період, і воно буде наприкінці n-го періоду дорівнювати
)
1
(
1
i
A
n


. Природно, на А
n відсотки не нараховуються.
Нарощений грошовий потік має вигляд:
A
i
A
i
A
i
A
n
n
),
1
(
,...,
)
1
(
,
)
1
(
2 1








Майбутня вартість має вигляд:
,
1
(1 )
n
a
n k
pst
i n
k
FV
A
i
A b
-
=
= ×
+
= ×
å
(1.16)
Вхідний у формулу множник
n
i
b
,
називається мультиплікаційним множником для ануїтету, або коефіцієнтом нарощення ренти (ануїтету), і являє собою суму n перших членів геометричної прогресії, що начиняється з 1, і знаменником (1+ i ).
Таким чином,
(1 )
1
n
n
i
b
i
+
-
=
(1.17) де
n
b
- коефіцієнт нарощення ануїтету.
Економічний зміст коефіцієнта нарощення
n
i
b
,
міститься в наступному: він показує, чому буде дорівнювати сумарна величина термінового ануїтету в одну грошову одиницю (наприклад, гривня) до кінця строку його дії.
Передбачається, що провадиться лише нарахування грошових сум, а їхнє вилучення може бути зроблене по закінченні терміну дії ануїтету.
Приклад 1. Клієнтові пропонують здати в оренду ділянку на три роки, вибравши один з варіантів оплати оренди: а) 10 000 грн. наприкінці кожного року; б) 35 000 грн. наприкінці 3-го періоду.
Банк пропонує 20% річних по вкладам.
Рішення. а) ануїтет постнумерандо: n = 3; A = 10 000 тис. грн.
(
)
3 3
1 0,2 1
10000 36400 0,2
a
pst
FV
A b
грн
+
-
= ×
=
×
=
11

Відповідь: клієнтові вигідніше одержувати щорічно наприкінці кожного року 10 000 грн.
Зворотна задача оцінки термінового ануїтету . Розраховується оцінка майбутніх грошових надходжень з позицій теперішнього моменту, під яким у цьому випадку розуміється момент часу, починаючи з якого відлічуються рівні тимчасові інтервали, що входять в ануїтет.
Наведений грошовий потік для вихідного потоку постнуменрандо має вигляд:
( )
( )
1 2
2
,
,...,
1 1
1
n
n
A
A
A
i
i
i
+
+
+
Теперішня вартість ренти постнумерандо (пренумерандо) в момент t
0
= 0 у фінансовій математиці позначається
|
n
a
(відповідно пренумерандо
|
n
a
).
Множинник
|
n
a
називається дисконтуючим множинником для ануїтету постнумерандо, або коефіцієнтом дисконтування ренти (ануїтету), і як сума членів геометричної прогресії дорівнює величині:
1 2
|
1 1
1 1
1
n
n
n
n
n
i
a
i
i
n n n
n n n
n
+
æ
ö
- ç
÷
ç
÷
-
-
+
è
ø
= +
+
+
=
=
=
-
(1.18) де
|
n
a
- коефіцієнт приведення ануїтету (сучасна вартість рент).
Оцінка теперішньої вартості термінового ануїтету постнумерандо
a
pst
PV
має вигляд:
|
a
pst
n
PV
A a
= ×
(1.19)
Приклад 2. Клієнт укладає з банком договір про виплату йому протягом 6 років щорічної ренти в розмірі 9000грн. наприкінці кожного року. Яку суму необхідно йому внести на початку першого року, щоб забезпечити цю ренту, виходячи з річної процентної ставки 23 %.
Рішення.
1 1
0,8130 1
1 0,23
V
i
=
=
=
+
+
100000 10000 0
1 2
3 10000
А
3
А
2
(1+i)
n-2
A
1
(1+i)
n-1
A
1
=10000 (1+0,2)
2
=14 400 грн.
А
2
=10000 (1+0,2)
1
=12 000 грн.
А
3
=10000 грн.
ΣА
1,2,3
= 36 400 грн.
12

Теперішня вартість одиничної ренти:
6 6||
1 (0,8130)
1 0,2887 3,0926 0,23 0,23
a
-
-
=
=
=
6|
9000 3,0926 27833,4
a
pst
PV
A a
грн
= ×
=
×
=
Відповідь: клієнтові необхідно внести на початку першого року 27833,4 грн., щоб щорічно на протязі 6 років одержувати ренту в розмірі 9000 грн.
Ануїтет
пренумерандо.
Оцінка майбутньої вартості ануїтету пренумерандо дорівнює:
a
pre
n
FV
A b
= ×
(1.20)
(1 )
1
(1 )
n
n
i
b
i
i
+
-
=
× +
(1.21)
Приклад 3. СК протягом 7 років на початку кожного року робить внески в банк у розмірі 50 000 грн. під 20% річних. Визначити величину накопиченої суми до кінця 7 року.
Рішення: n = 7 лет; А = 50 000 грн.; i = 0,2.
1. Розрахуємо коефіцієнт нарощення ануїтету:
(
) (
)
7 7
7 1 0,2
(1 )
1 3,5831 1
(1 )
1 0,2 1,2 15,4986 0,2 0,2
i
b
i
i
+
+
-
-
=
× +
=
×
+
=
×
=
2. Знайдемо величину накопиченої суми:
7 50000 15,4986 774930
a
pre
FV
A b
грн
= ×
=
×
=
Відповідь: величина накопиченої суми складе 774930 грн.
Оцінка майбутніх грошових надходжень для ренти пренумерандо розраховується за формулою:
( )
1
|
1 1
1 1
1 1
1 1
n
n
n
n
n
i
i
a
d
i
n n
n n
n
-
æ
ö
-
×
+
ç
÷
ç
÷
-
-
+
è
ø
= + + +
=
=
=
-

(1.22)
|
a
pre
n
PV
A a
= × 
(1.23) де А – величина регулярного грошового надходження.
Приклад 4. Страхувальник уклав зі СК договір про виплату йому протягом 10 років щорічної ренти в розмірі 4000 грн. на початку кожного року.
Яку суму йому необхідно внести як страховий внесок на початку першого року, щоб забезпечити цю ренту, виходячи з річної процентної ставки 15%?
Рішення:
1. Розрахуємо коефіцієнт приведення ануїтета:
13

 


7737
,
5 15
,
1 15
,
0 2469
,
0 1
15
,
0 1
15
,
0 15
,
0 1
1 1
1 1
1 1
10 10
|
10


























i
i
i
a
2. Знайдемо величину страхового внеску:
8
,
23094 7737
,
5 4000
|
10
грн
a
A
PV
a
pre







1.8. Завдання для практичних (самостійних) занять
1. Страхова асоціація бере 1000 грн. у вигляді зворотного внеску й через
2 роки зобов'язується повернути 1330 грн. Необхідно написати рівняння вартості й знайти процентну ставку.
2. Фактична процентна ставка по банківському рахунку становить 4,5 % на рік. Знайдіть накопичену суму 5000 грн. за сім років.
3. Фактична процентна ставка становить на даний час 7 % за рік, але через два роки вона знизиться до 6% за рік. Знайдіть нагромадження внеску
4000 грн. за п'ять років.
4. Який внесок зробив вкладник, якщо після закінчення 5 років він при
3 % прибутковості перетворився в 638 грн.13 коп.?
5. Яку суму необхідно інвестувати, щоб одержати через 2 роки 1350 грн. при ставці 8 % (і=0,08), що конвертується (період нарахування відсотків) щокварталу.
6. Інвестор вкладає 1000 грн. на 5 років. Знайдіть акумульовану суму:
1)
при річній ставці 10 %;
2)
конвертації піврічний 10 %;
3)
конвертації щомісячної 10 %.
7. Людина позичила 10000 грн. на 5 років під 25 % річних і хотіла би повернути його п'ятьома однаковими виплатами. Ці виплати вона хотіла би робити наприкінці кожного року. Визначити величину А кожної із цих виплат.
8. Визначити розмір внеску в пенсійний фонд, якщо через рік щорічно протягом 10 років повинна виплачуватися пенсія 800грн. Ефективна річна процентна ставка і= 15 %.
9. Банком видана позичка 1000 грн. на 5 років під і=20 % річних.
Погашення позички здійснюється наприкінці кожного року однаковими виплатами. Визначити розмір виплат.
14

10. Клієнт купує 10-річну ренту з виплатою 600 грн. наприкінці кожного року. При цьому передбачається, що річна процентна ставка протягом найближчих 5 років становить 10 %, в інші роки 6%. Визначити вартість ренти.
11. Яким повинен бути внесок у пенсійний фонд, якщо пенсія буде виплачуватися 10 років по 1000 грн. щорічно. Перша виплата через рік.
Ефективна ставка 25 % річних.
12. Надається позичка 1000 грн. на 5 років під 25 % річних, погашення в кінцю року. Знайдіть суму щорічної виплати (А).
13. Внесок у пенсійний фонд 5000 грн. Перша виплата через 3 роки.
Потім пенсія виплачується протягом 10 років. Ефективна ставка 15 %.
Визначите річну пенсію.
14. Експерти банку припускають, що протягом найближчих п'яти років ефективна річна процентна ставка буде дорівнює і
1
= 10 %, а протягом наступного п'ятиліття і
2
= 6 %. Людина купує десятилітню ренту з виплатою наприкінці кожного року 1000 грн. Знайти її вартість.
15. Страховою компанією здана ділянка в оренду на 8 років. Орендна плата буде здійснюватися щорічно за схемою постнумерандо на наступних умовах:
У перші 5 років – по 5000 грн.; у 3 роки, що залишилися по 6000 грн.
Потрібно оцінити приведену вартість цього договору, якщо процентна ставка, використовувана в розрахунках дорівнює 12 %.
16. Клієнт протягом 5 років на початку кожного року робить внесок у банк у розмірі 10 тис. грн. під 20 % річних. Визначити величину накопиченої суми до кінця 5 року.
17. Клієнт укладає з банком договір про виплату йому протягом 5 років щорічної ренти в розмірі 8 тис. грн. на початку кожного року. Яку суму необхідно йому внести на початку першого року, щоб забезпечити цю ренту, виходячи з річної процентної ставки 22 %.


Поділіться з Вашими друзьями:
  1   2   3   4


База даних захищена авторським правом ©divovo.in.ua 2017
звернутися до адміністрації

войти | регистрация
    Головна сторінка


загрузить материал