Конспект лекцій з дисципліни «Дослідження операцій»



Сторінка3/12
Дата конвертації11.05.2017
Розмір2.27 Mb.
ТипКонспект
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   12

ЛЕКЦІЯ 2 «Оптимізаційні задачі управління запасами»


Анотація

Загальна постановка задачі та типи моделей управління запасами. Основні характеристики моделей управління запасами. Класифікація задач управління запасами за видом попиту.
Для діяльності будь-якої організації необхідні якісь запаси. Якщо їх не буде, то при найменшому порушенні збуту вся діяльність зупиниться. Зберігати ж занадто багато запасів економічно невигідно. Знаходженню балансу між цими двома крайностями присвячені завдання управління запасами.


    1. Загальна постановка завдання

Завдання полягає в наступному: Необхідно скласти план випуску деякого виду виробів на період, що складається з N відрізків. Передбачається, що для кожного з цих відрізків є точний прогноз попиту на продукцію що випускається. Для різних відрізків попит неоднаковий. Причому, продукція, що виготовляється протягом відрізку часу t, може бути використана для повного або часткового покриття попиту протягом цього відрізка. Крім того, розміри виготовлених партій продукції впливають на економічні показники виробництва. У зв'язку з цим буває доцільно виготовляти протягом деякого періоду обсяг продукції, що перевищує його попит в межах цього періоду і зберігати ці надлишки до задоволення подальшого попиту. Проте, зберігання запасів пов'язане з витратами (плата за складські приміщення, страхові внески і витрати на утримання запасів і тощо).

Мета підприємства - розробити таку програму, при якій загальна сума витрат на виробництво і утримання запасів мінімізується при умови повного і своєчасного задоволення попиту на продукцію. Для забезпечення безперервного і ефективного функціонування практично будь-якої організації необхідне створення запасів, наприклад, в виробничому процесі, торгівлі, медичному обслуговуванні і т.д. В залежно від ситуації під запасами можуть матися на увазі: готова продукція, сировина, напівфабрикати, верстати, інструмент, транспортні засоби, готівка та ін.. Невірний розрахунок необхідних запасів може привести як до незначного збитку (втрата частини доходу від дефіциту товару), так і до катастрофічних наслідків (при помилковій оцінці запасів палива на літаку).

До економічного збитку приводить як надмірне наявність запасів, так і їх недостатність. Так, якщо деяка компанія має товарні запаси, то капітал, матеріалізований у цих товарах, заморожується. Цей капітал, який не можна використовувати, представляє для компанії втрачену вартість у формі невиплачених відсотків або не використовуваних можливостей інвестування. Крім того, запаси, особливо продукти що швидко псуються, вимагають створення спеціальних умов для зберігання. Для цього необхідно виділити певні площі, найняти персонал, застрахувати запаси. Все це спричиняє певні витрати.

З іншого боку, чим менше рівень запасу, тим більша ймовірність виникнення дефіциту, що може принести збитки внаслідок втрати клієнтів, зупинки виробничого процесу і т.д.

Крім того, при малому рівні запасів доводиться часто постачати нові партії товару, що призводить до великих витрат на доставку замовлень.

Звідси випливає важливість розробки та використання математичних моделей, що дозволяють знайти оптимальний рівень запасів, що мінімізують суму всіх описаних видів витрат.

Розглянемо основні характеристики моделей управління запасами.

Попит. Попит на продукт що запасається може бути детермінованим (в найпростішому випадку – постійним в часі) або випадковим. Випадковість описується або випадковим моментом попиту, або випадковим об’ємом попиту в детерміновані або випадкові моменти часу.

Поповнення складу. Поповнення складу може відбуватися або періодично через конкретні інтервали часу, або по мірі вичерпаності запасів, тобто зниження їх до деякого рівня.

Об’єм замовлення. При періодичному поповненні та випадковому вичерпанні запасів об’єм заказу може залежати від того стану, який спостерігається в момент подачі замовлення. Замовлення як правило подається на одну і ту ж величину при досягнення запасів заданого рівня – так званої точки замовлення.

Час доставки. В ідеалізованих моделях управління запасами передбачається, що замовлене поповнення поставляється на склад миттєво. В інших моделях розглядається затримка поставок на фіксований або випадковий інтервал часу.

Вартість поставки. Як правило, передбачається, що вартість кожної поставки складається з двох компонент – разових витрат, незалежних від об’єму партії що замовляється, та затрат, що залежать (частіше всього – лінійно) від об’єму партії.

Витрати на зберігання. В більшості моделей управління запасами вважають об’єм складу практично необмеженим, а в якості контролюючої величини служить об’єм запасів що зберігаються.

Штраф за дефіцит. Любий склад створюється для того, щоб попередити дефіцит конкретного виду виробів в системі що обслуговується. Відсутність запасів в потрібний момент приводить до збитків, зв’язаних з простоєм обладнання, неритмічністю виробництва і т.п. ці збитки в подальшому будемо називати штрафом за дефіцит.

Номенклатура запасу. В самих простих випадках передбачається, що на складі зберігається запас однотипних виробів або однотипної продукції. В більш складних випадках розглядається багатономенклатурний запас.

Я якості критерію ефективності прийнятої стратегії управління запасами виступає функція затрат (витрат), що представляє сумарні затрати на зберігання та поставку запасає мого продукту ( в тому числі втрати від псування продукту при його зберіганні і його морального старіння, втрати прибутку від омертвіння капіталу и т. п.) та затрати на штрафи.

Управління запасами заклечається в пошуку такої стратегії поповнення та витрат запасами, при якому функція затрат приймає мінімальне значення.

2.2 Типи моделей управління запасами.

Узагальнена модель управління запасами, розглянута вище, є досить простою. Але різноманітність моделей цього класу й методів розв'язування відповідних задач, які базуються на різному математичному апараті - від простих схем диференціального і інтегрального числення до складних алгоритмів динамічного і інших видів математичного програмування, - визначається характером попиту, який може бути детермінованим або стохастичним. На рис. 2 наведена схема класифікації попиту, який, зазвичай, використовується в моделях управління запасами.

Детермінований попит може бути статичним, в тому сенсі, що інтенсивність споживання залишається незмінною з часом, або динамічним, коли попит відомий достовірно, але змінюється в залежності від часу.

Стохастичний попит є стаціонарним, якщо функція щільності імовірності попиту незмінна в часі, і нестаціонарним, коли функція щільності попиту змінюється в часі.

Рисунок 2.1 — Класифікація задач управління запасами за видом попиту


В реальних умовах випадок детермінованого статичного попиту зустрічається доволі рідко. Такий випадок є найпростішим. Так, наприклад, хоча попит на деякі продукти масового споживання, як хліб, може змінюватися від одного дня до іншого, ці зміни можуть бути настільки незначними, що припущення про статичність попиту несуттєво спотворює дійсність.

Найточніше характер попиту може бути описаний за допомогою нестаціонарних розподілів вірогідностей. Однак із математичної точки зору модель значно ускладнюється, особливо при збільшенні періоду часу, що розглядається. На рис. 2 ілюструється зростання математичної складності моделі управління запасами при переході від детермінованого статичного попиту до вірогіднісного нестаціонарного попиту. По суті, цю класифікацію можна вважати представленням рівнів абстрагування при описанні попиту.

На першому рівні абстрагування припускається, що розподіл вірогідності попиту стаціонарний у часі. Це означає, що для описання попиту протягом усіх періодів часу, що досліджуються, використовується одна і та ж функція розподілу вірогідностей. При такому припущенні вплив квартальних коливань попиту в моделі не враховується.

На другому рівні абстракції враховуються зміни попиту від одного періоду до іншого. Однак при цьому функції розподілу не застосовуються, а потреби в кожному періоді описуються середньою величиною попиту. Це спрощення означає, що елемент ризику в управлінні запасами не враховується. Однак це дозволяє досліджувати квартальні коливання попиту, які внаслідок аналітичних і обчислювальних труднощів не можна врахувати у вірогіднісній моделі.

Іншими словами, тут виникає певний компроміс: можна використовувати, з одного боку; стаціонарні розподіли ймовірностей, а з іншого - змінну, але відому функцію попиту при припущенні "визначеності".

На третьому рівні спрощення виключаються як елементи ризику, так і зміни попиту. Тим самим попит протягом будь-якого періоду вважається рівним середньому значенню відомого (за припущенням) попиту для всіх періодів, що розглядаються. В результаті цього спрощення попит можна оцінити його сталою інтенсивністю.

Хоча характер попиту є одним з основних факторів при побудові моделі управління запасами, є й інші фактори, що впливають на вибір типу моделі, а саме:

Запізнення надходжень виконання замовлень. Після розміщення замовлення воно може бути поставлене відразу ж або буде потрібний деякий час на його виконання. Інтервал часу між моментом розміщення замовлення і його надходженням називається запізненням замовлення або терміном виконання замовлень. Ця величина може бути детермінованою або стохастичною.

Поповнення замовлення. Хоча система управління запасами може функціонувати при запізненні надходжень, процес збільшення запасу може здійснюватися миттєво або рівномірно в часі. Миттєве збільшення запасу може бути реалізоване за умови, коли замовлення надходять від зовнішнього джерела. Рівномірне збільшення може бути тоді, коли продукція, що запасається, виробляється самою організацією. В загальному випадку система може функціонувати при позитивному запізненні надходження і рівномірному збільшенні запасу.

Період часу визначає інтервал, протягом якого здійснюється зміна рівня запасу. В залежності від проміжку часу, на якому можна надійно прогнозувати період, що розглядається, вважається скінченим або нескінченим.

Кількість пунктів накопичення запасу. До складу системи управління запасами може входити декілька пунктів зберігання запасу. В деяких випадках ці пункти організовані таким чином, що один є постачальником для іншого. Ця схема деколи реалізується на різноманітних рівнях, так що пункт-споживач одного рівня може стати пунктом-постачальником на іншому. В такому випадку це є система управління запасами з розгалуженою структурою.

Кількість видів продукції. В системі управління запасами може фігурувати більше ніж один вид продукції. Цей фактор враховується за умови наявності деякої залежності між різними видами продукції. Так, для різних виробів може використовуватися одне і те ж складське приміщення або ж виробництво може здійснюватися при обмеженнях на загальні виробничі фонди.


    1. Прості моделі управління запасами.

Нехай функції A(t), B(t), та R(t) виражають відповідно поповнення запасів, їх витрати та попит на продукт що запасається на проміжку часу [0, t]. В моделях управління запасами використовуються похідні цих функцій за часом a(t), b(t), r(t), що називаються відповідно інтенсивностями поповнення, витрат та попиту.

Якщо функції a(t), b(t), r(t), - не випадкові величини, то модель управління запасами вважається детермінованою, якщо хоча б одна із них носить випадковий характер – стохастичною. Якщо всі параметри моделі не змінюються в часі, вона називається статичною, інакше – динамічною. Статичні моделі використовуються, коли приймається разове рішення про рівень запасів на певний період, а динамічні – у випадку прийняття послідовних рішень про рівні запасу чи корегування раніше прийнятих рішень з врахуванням змін що відбуваються.

Рівень запасу в момент t визначається основним рівнянням запасі
, (2.1)
де J0 – початковий запас в момент t=0.

Рівняння (2.1) частіше використовується в інтегральній формі:


. (2.2)
Приклад 1. Інтенсивність надходження деталей на склад готової продукції цеха складає на початку зміни 5 дет./хв., на протязі першої години лінійно росте, досягаючи до кінця її 10 дет./хв., а потім залишається постійною. Припускаючи, що надходження деталей на склад відбувається безперервно на протязі всіх семи годин зміни, а вивіз деталей зі складу виконується лише в кінці роботи, записати вираз для рівня запасу в довільний момент часу та, використовуючи його, знайти кількість деталей на складі: а) через 30 хв. після початку роботи; б) в кінці зміни.

Рішення. За умовою протягом зміни не відбувається видача деталей зі складу, тобто b(t)=0. Інтенсивність поповнення запасу на протязі першої години лінійно зростає, тобто а(t)=kt+b. Враховуючи, що а(0)=5, отримуємо b=5. Так як в кінці першої години, тобто при t=60 a(60)=10, тоді 10=k*60+5,звідки k=1/12. Таким чином, для першої години зміни a(t)=(1/12)t+5, а тоді a(t)=10. Враховуючи тривалість зміни (7 год. = 420 хв.) та співвідношення (2.2), отримаємо:
, якщо ,

і


, якщо .
Кількість деталей на складі через 30 хв. після початку роботи: J(30)=900/24+5*30=187,5, а в кінці зміни: J(420)=10*420-150=4050.
2.4 Статична детермінована модель без дефіциту

Припущення про те, що дефіцит не допускається, означає повне задоволення попиту на продукт, що запасається, тобто співпадання функцій r(t) та b(t). Нехай загальне споживання продукту що запасається за розглянутий інтервал часу θ дорівнює N. Розглянемо просту модель, в якій передбачається, що витрати запасу відбуваються безперервно з постійною інтенсивністю, тобто b(t)=b. Цю інтенсивність можна знайти, розділивши загальне споживання продукту на час, на протязі якого він витрачається:


. (2.3)
Поповнення заказу відбувається партіями однакового об’єму, тобто функція a(t) не являється безперервною: a(t)=0 при всіх t, крім моментів поставки продукту, коли a(t)=n, де n – об’єм партії. Так як інтенсивність витрат дорівнює b, то вся партія буде використана за час
. (2.4)
Якщо відлік часу почати з моменту надходження першої партії, то рівень запасу в початковий момент дорівнює об’єму цієї партії n,тобто J(0)=n. Графічно рівень запасу в залежності від часу представлено на рис.2.2.

Рисунок 2.2 – Залежність рівня запасу від часу


На протязі часового інтервалу [0,T] рівень запасу зменшується по прямій J(t)=n-bt від значення n до нуля. Так як дефіцит не допускається, то в момент Т рівень запасу миттєво поповнюється до попереднього значення n за рахунок надходження партії заказу. Таким чином процес зміни J(t) повторюється на кожному часовому інтервалі тривалістю Т (див. рис. 2.2)

Задача управління запасами виражається у визначенні такого об’єму партії n, при якому сумарні затрати на створення та зберігання запасу були б мінімальними.

Позначимо сумарні затрати через С, затрати на створення запасу – через С1, а затрати на зберігання запасу – через С2 та знайдемо ці величини за весь проміжок часу Т.

Нехай затрати на доставку однієї партії продукту, незалежно від об’єм партії, дорівнюють с1, а затрати на зберігання однієї одиниці продукції за одиницю часу – с2. Так як за час θ необхідно запастись N одиницями продукту, який поставляється партіями об’єму n, то число таких партій k дорівнює:


. (2.5)
Звідси отримуємо
. (2.6)
Моментальні затрати зберігання запасу в момент часу t дорівнюють c2J(t). Значить за проміжок часу [0,T] вони складуть

або, враховуючи (2.4):
.
Середній запас за проміжок [0,T] дорівнює nT/2, тобто затрати на зберігання всього запасу при лінійних (за часом) його витратах дорівнюють затратам на зберігання середнього запасу.

Враховуючи періодичність функції J(t) (всього за проміжок часу θ буде k=N/n «зубців», аналогічних тим, що розглядалися на відрізку [0,T]), та формулу (2.5), отримуємо, що затрати зберігання запасу за проміжок часу θ дорівнюють:


. (2.7)
Неважко помітити, що затрати С1 обернено пропорційні, а затрати С2 прямо пропорціональні об’єму партії n. Графіки функцій C1(n) та C2(n), а також функції сумарних затрат
(2.8)
представлені на рис. 2.3.

Рисунок 2.3 – Функція сумарних затрат та функцій C1(n) та C2(n)


В точці мінімуму функції C(n) її похідна , звідки
(2.9)
або враховуючи (2.3):
. (2.10)
Формула (2.10) називається формулою Уілсона або формулою найбільш економічного об’єму партії, широко використовується в економіці. Ця формула може бути отримана і іншим способом, якщо врахувати, що добуток С1С2=0,5с1с2 є величина постійна, незалежна від n. В цьому випадку, як відомо, сума двох величин приймає найменше значення, коли вони рівні, тобто С12 або
, (2.11)
звідки отримуємо (2.9).

Із (2.11) випливає, що мінімум загальних затрат задачі управління запасами досягається тоді, коли затрати на створення запасу дорівнюють затратам на збереження запасів. При цьому мінімальні сумарні затрати


, (2.12)
звідки, враховуючи (2.9) та (2.3), отримаємо
або . (2.13)
Число оптимальних партій за час θ з урахуванням (2.5), (2.9) і (2.3) дорівнює:
.

Час витрати оптимальної партії на основі (2.4) з урахуванням (2.9) та (2.3) дорівнює


(2.14)
або

. (2.15)
Приклад 2. Потреба складального підприємства в деталях певного типу складає 120000 деталей на рік, причому ці деталі витрачаються в процесі виробництва рівномірно та безперервно. Деталі замовляються раз на рік та поставляються партіями однакового об’єму, вказаного в замовлені. Зберігання деталі на складі коштує 0,35 грошових одиниць на добу, а поставка партії – 10000 грош. одиниць. Затримка виробництва із-за відсутності деталей недопустима. Встановити найбільш економічний об’єм партії та інтервал між поставками, які необхідно вказати в замовлені (постачальник не допускає затримки поставок).

Рішення. За умовою затрати на одну партію складають с1=10000 грош.од., загальний проміжок часу θ=1 рік =365 днів, а загальний об’єм запасу за цей період N=120000 деталей. За формулою (2.9) , а за (2.14) .

Таким чином, найбільш економічний об’єм партії дорівнює 4335 деталей, а інтервал між поставками ≈13 днів.

На практиці ж об’єм партії може відрізнятися від отриманого n0, розрахованого за (2.9). Так, в попередній задачі може виявитися зручним замовити партії по 4500 або навіть по 5000 деталей і виникає питання, як при цьому змінюються сумарні затрати.

Для відповіді на це запитання розложимо функцію C(n) в ряд Тейлора навколо точки n0, обмежившись першими трьома членами ряду при достатньо малих змінах об’єму партії n:



Враховуючи, що при n=n0 а C0=C(n0) визначається за формулою (2.12), знайдемо:

або


. (2.16)
Формула (2.16) свідчить про певну стійкість сумарних затрат у відношенні до найбільш економічного об’єму партії, так як при малих n відносні зміни затрат приблизно на порядок менші відносної зміни об’єму партії в порівнянні з оптимальним.

Приклад 3. За умовою задачі 2 визначити, на скільки процентів збільшаться затрати на створення та зберігання запасу в порівнянні з мінімальними затратами при об’ємі замовляємих партій 5000 деталей.

Рішення. Відносна зміна об’єму партії в порівнянні з оптимальним n0=4335 складає n/n0=(5000-4335)/4335=0,153. У відповідності до (2.16) відносна зміна сумарних затрат складе C/C0=0,1532/2≈0,012, або всього 1.2%.

Приклад 4. В умові задачі 3 припустимо, що замовляються не всі партії відразу, а кожна окремо, причому строк виконання замовлення дорівнює 16 днів. Визначити точки замовлення, тобто при якому рівні запасу слід замовляти наступну партію.

Рішення. Так як за результатами рішення задачі 2 довжина інтервалу між поставками дорівнює 13,2 днів, то замовлення в умовах неналежного виробництва потрібно відновити, коли рівень запасу достатній для задоволення потреби на 16-13,2=2,8 дні. Так як щоденна необхідність (інтенсивність витрат запасу) дорівнює за формулою (2.3) b=120000/365=329 деталей, то замовлення повинні робитися регулярно при досягненні рівня запасу 329*2,8≈922 деталі.


Поділіться з Вашими друзьями:
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   12


База даних захищена авторським правом ©divovo.in.ua 2017
звернутися до адміністрації

войти | регистрация
    Головна сторінка


загрузить материал