«історія розвитку поняття інтеграл»



Скачати 353.35 Kb.
Сторінка2/3
Дата конвертації25.12.2016
Розмір353.35 Kb.
ТипРеферат
1   2   3

ІНТЕГРАЛИ КОШІ І РІМАН

Творчість Коші і Романа протікало тоді, коли в суспільному житті, природознавстві і математиці відбулися істотні зміни. Зросла роль математики в системі наук. У зв'язку з тим, що вона набула аналітичного характеру, математичні методи проникали не тільки в механіку, з якою математика була в тісному контакті ще в часи Архімеда, але і фізику, техніку і економіку. Аналіз став провідною галуззю знань. Розширилася мережа учбових закладів, що готують фахівців, стало більше університетів, вищих технічних шкіл; професори університетів почали займатися науковими дослідженнями, академіки – викладати в університетах. Збільшилася кількість періодичних наукових виданнь, що надало ширшу можливість публікації робіт, поліпшило інформативність.

Проте знов виникли потреби як усередині математики, так а в інших науках, а також пов'язані з обчисленням деяких первісних труднощів принципового характеру висували на перший план визначений інтеграл. Завдання теорії ймовірності, теорії рядів, інтегрування диференціальних рівнянь, математичної фізики, теорії кінцевих різниць приводили до спеціального вигляду визначених інтегралів, зокрема невласним. Прикладом таких інтегралів служить інтеграл Пуассона . Обчисленням таких інтегралів займалися багато видатних математиків. У Ейлера цим питанням відводяться цілі два томи. Дослідженню спеціальних інтегралів присвятили свої праці Лагранж, Лаплас, Пуассон, Коші.

Але це не все. Обчислення деяких інтегралів по формулі Ньютона – Лейбніца , якою практично користувалися математики, таїло в собі іноді парадокси. Першим звернув на це увагу Д'Аламбер в 1768 році – помітив, що формулою Ньютона–Лейбніца не можна користуватися при обчисленні інтегралів вигляду , коли підінтегральна функція на проміжку інтегрування перетворюється в нескінченність.

Питання існування інтегралів в творчості Коші вперше обговорювалися в його мемуарі 1814 р., в якому були відмічені парадоксальні властивості деяких подвійних інтегралів. Наприклад:

.

Огюстен Луї Коші



Рис. 6

Коші почав розглядати подвійні інтеграли як суми елементів, відповідних різним значенням двох змінних. Парадоксальні властивості, виявлені у подвійних інтегралів, Коші переніс і на визначені інтеграли. Наприклад .

Таким чином, розвиток математики висував необхідність перегляду концепції інтеграла, і це було виконано Коші.

Коші будував визначений інтеграл так. Для неперервної на відрізку функції він складав суму
,
розбиваючи відрізок на частини точками . Потім довів, що незалежно від способу розбиття відрізка за умов, що збільшується необмежено і всі різниці прямують до нуля, «значение станет в конце концов чувствительно постоянным или, другими словами, в конце концов достигнет известного предела, который будет зависеть только от функции и крайних значений , , приписанных переменной х. Этот предел и есть то, что называют определенным интегралом».

Виходячи із визначення інтеграла і неперервності функцій Коші довів наступні властивості визначених інтегралів:

1) ,

2) ,

3) ,

4) , ,

5) ,

6) , ,

7) коли функція зберігає знак на , буде , .

Невизначений інтеграл Коші ввів як частинний випадок визначеного, при змінній верхній межі. Він довів неперервність такого інтеграла по верхній межі і теорему про те, що похідна його по верхній межі рівна підінтегральній функції. Коші довів також справедливість формули Ньютона - Лейбніца. Він висловив положення, пов'язані з диференціюванням і інтегруванням по параметру.

Здається, зовсім мало часу пройшло після введення Коші визначеного інтеграла, але знову виникають мотиви, що вимушують переглядати, уточнювати це поняття, і знову наполегливо працює розум математиків. І поставити останню крапку про «пригоди» ідеї інтеграла випало Ріману. Тільки не слід думати, що розвиток поняття інтеграла закінчився з роботами Рімана. Його творчістю завершився шлях до інтеграла і почався шлях інтеграла, не менш цікавий і істотний для науки.

Як видно з попереднього, різні причини спонукали математиків займатися інтегралом. Для Рімана таким джерелом були тригонометричні ряди: визначений інтеграл з'явився у нього при рішенні задачі про розкладання довільної функції в тригонометричний ряд. Отже, ось перше питання: що потрібно розуміти під знаком ?

Побудова інтеграла Рімана така. Розглянемо функцію на проміжку . Розіб'ємо проміжок довільним чином точками на частини. Позначимо найбільшу з різниць через . На

Бернгард Ріман



Рис. 7

кожному з часткових проміжків виберемо довільно точки і обчислимо значення функції у цих точках. Складемо тепер суму . Її називають рімановою, частіше інтегральною.

Кінцева межа інтегральної суми при називається визначеним інтегралом від на проміжку і позначається . Коли така межа існує, функція називається інтегрованою на . Ріман встановив необхідний і достатній критерій інтегрованості функції.





  1. ПОДАЛЬШИЙ РОЗВИТОК ІНТЕГРАЛУ

Дослідження інтеграла після Рімана не припинилися, а пішли прискореним темпом. Якби перерахувати лише математиків, що зробили значний внесок в теорію інтеграла в другій половині XIX і в XX ст., то це зайняло б багато місця. І книга, присвячена шляху інтеграла від Рімана, скажімо, до середини XX ст., вийшла б значною. Інтеграл був, є і буде стрижньовим поняттям в математиці. Не випадково символом Міжнародного математичного конгресу, який проходив в Москві в 1966 р., був знак інтеграла.

Для подальших узагальнень інтеграла усередині самої математики повинні були дозріти умови, що допускають це. Такі умови створила розроблена в кінці XIX ст. і початку XX ст. теорія множин, з найважливішим поняттям міри множини. Виникло нове поняття – інтеграл Лебега, узагальнений інтеграл Рімана. Лебег ввів дескриптивне визначення інтеграла: сформулював його властивості, що не містять вказівок на побудову. Він дав також конструктивне визначення інтеграла – аналітичне і геометричне.

Роботи Лебега послужили значним імпульсом для подальших досліджень в математиці. Теорія міри і інтеграл Лебега служать теоретичним інструментом в сучасній теорії диференціальних рівнянь, теоретичній в математичній фізиці, теорії узагальнених функцій, теорії лінійних операторів і спектральної теорії, теорії вірогідності, теорії випадкових процесів і інших розділах математики.

Майже одночасно з Лебегом при рішенні задачі про розподіл маси на інтервалі узагальнення інтеграла Рімана здійснив Т. Стілтьєс. Введення інтеграла Стілтьєса (1856-1894) також привело до нових робіт, присвяченим його властивостям, різним застосуванням, з'ясуванню зв'язку інтеграла Стілтьєса з інтегралами Рімана і Лебега.

У 1912 році з'явилося узагальнення інтеграла Лебега – інтеграл А. Данжуа (1884-1973), що викликав новий потік досліджень. У 1930 р. А.І. Колмогоров (р. 1903) опублікував роботу, в якій охоплені всі інтеграли як межі різні інтегральні сум. Інтеграл Колмогорова знайшов застосування в математичній фізиці, при математичному обґрунтуванні квантової механіки.

У розвиток поняття інтеграла, окрім Колмогорова, внесли великий внесок і інші російські математики. Вони зробили першочергової важливості відкриття. Це П.Л. Чебишов, А.А. Марков (1856-1922), А.М. Ляпунов, II.Н. Лузін (1883-1950), А.Я. Хінчін (1894-1959). У теорії функцій А.Я. Хінчін одночасно з Данжуа створив теорію апроксимативних похідних і узагальнив поняття інтеграла.

Свої дослідження по асимптотичних похідних Хінчін використовував (1916 р.) для узагальнення інтеграла Данжуа. Він знайшов необхідну і достатню умови для того, щоб інтеграл Данжуа був первісною функцією, а також зняв обмеження, накладене Данжуа на застосування свого інтегрального процесу, і в результаті отримав інтеграл, що дозволяє відновлювати елементарну функцію по її асимптотичній похідній. Трохи згодом сам Данжуа опублікував таке ж узагальнення, але пріоритет належить Хінчину, хоча в світовій літературі цей інтеграл носить ім'я Данжуа – Хінчина [2, с. 442].


Табл. 1

ХРОНОЛОГІЯ РОЗВИТКУ ПОНЯТТЯ ІНТЕГРАЛ

Дата

Подія

Автор

Місце

408 рік до н. е.

Метод вичерпування для обчислення площ

Евдокс

Кнід

287 рік до н. е.

Механічний метод розрахунку об’ємів та площ

Архімед

Сіракузи

1689 рік

Внутрішній зв’язок між диференціюванням та інтегруванням

Ньютон

Вулсторп

1702 рік

Сформував основні поняття інтегрального числення, ввів сучасний символ інтегралу

Лейбніц

Лейпциг

1830 рік

Побудова визначеного інтегралу, введення невизначеного інтегралу як частинного випадку визначеного, деякі властивості визначеного інтегралу

Коші

Турин, Прага

1857 рік

Побудова інтегралу Рімана

Ріман

Німеччина

1934 рік

Дескриптивне визначення інтеграла

Лебег

Франція

1894 рік

Узагальнений визначений інтеграл

Стілтьєс

Тулуза

1932 рік

Отримання інтегралу, що дозволяє відновлювати елементарну функцію по її асимптотичній похідній

Данжуа

Франція

1934 рік




Хінчін

Москва


Поділіться з Вашими друзьями:
1   2   3


База даних захищена авторським правом ©divovo.in.ua 2017
звернутися до адміністрації

войти | регистрация
    Головна сторінка


загрузить материал