«історія розвитку поняття інтеграл»



Скачати 353.35 Kb.
Сторінка1/3
Дата конвертації25.12.2016
Розмір353.35 Kb.
ТипРеферат
  1   2   3


МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ (МОНУ)

КІРОВОГРАДСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ ПЕДАГОГІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

імені В.ВИННИЧЕНКА (КДПУ)
Кафедра прикладної математики, статистики та економіки
Узгоджено Затверджено
УДК 51(09)

Інв. № 9.53.Р.М.2010




РЕФЕРАТ
з історії математики

студента 53 групи

фізико-математичного факультету

Кочерженка Дмитра Віталійовича

на тему:

«ІСТОРІЯ РОЗВИТКУ ПОНЯТТЯ ІНТЕГРАЛ»


Науковий керівник:




Філер

професор кафедри

прикладної математики,






Залмен

Юхимович


статистики та економіки,







доктор технічних наук







Кіровоград 2010

АНОТАЦІЯ


Стор. 37, табл. 2, рис. 8, бібліогр. 4

ІНТЕГРАЛ, ІСТОРІЯ, ЛЕЙБНІЦ, ЕЙЛЕР, КОШІ, РІМАН

У рефераті подано основні періоди розвитку поняття інтеграл: від першого його застосування до сучасного стану. Вагомий внесок у розвиток інтегралу зробили Лейбніц, брати Бернуллі, Ейлер, Ньютон, Коші, Ріман, Лебег та їх послідовники Лузін, Хінчін та інші. Сучасний символ інтегралу був введений Лейбніцом в 1675 році, який був утворений з букви S – скорочення слова сума (від лат. summa). Символ визначеного інтегралу вперше використав Жан Батіст Жозеф Фур’є, приблизно в 1819-1920 рр.

АННОТАЦИЯ



Стор. 37, табл.2, рис. 8, бібліогр. 4

ИНТЕГРАЛ, ИСТОРИЯ, ЛЕЙБНИЦ, ЭЙЛЕР, КОШИ, РИМАН

В реферате поданы основные периоды развития понятия интеграл: от первого его использования к современному состоянию. Весомый вклад в развитие интегралу сделали Лейбниц, братья Бернулли, Эйлер, Ньютон, Коши, Риман, Лебег и их последователи Лузин, Хинчин и другие. Современный символ интегралу был введен Лейбницем в 1675 году, который был образован из буквы S – сокращения слова сумма (от лат. summa). Символ определенный интегралу впервые использовал Жан Батист Жозеф Фурье, приблизительно в 1819-1920 гг.

ANNOTATION



Pict. 8, tabl.2, pages 37, lit. 4

INTEGRAL, HISTORY, LEYBNIC, EULER, KOSHI, RIMAN

In an abstract the basic periods of development of concept are given integral: from his first appendix to the modern state. A ponderable contribution to development an integral was done Leybnic, to take Bernulli, Euler, Newton, Koshi, Riman, Lebesgue and their followers of Luzin, Khinchin et al. Modern character to the integral was entered Leybnicom in 1675 year, which was formed from the letter of S – reduction of word sum (from lat. summa). Character certain first Jean Batist utillized an integral Joseph Fourier, approximately in 1819-1920.
ЗМІСТ

ВСТУП……………………………………………………………………………4



  1. ЗАРОДЖЕННЯ ТА РОЗВИТОК ІДЕЇ………………………………………6

    1. Метод вичерпування;……………………………………………..­­......–

    2. Механічний метод Архімеда;…………………………………………8

  2. ВИНИКНЕННЯ ТА ОФОРМЛЕННЯ ІНТЕГРАЛУ……………………...11

  3. ІНТЕГРАЛИ КОШІ І РІМАН………………………………………………15

  4. ПОДАЛЬШИЙ РОЗВИТОК ІНТЕГРАЛУ………………………………...19

ВИСНОВКИ………………………………………………………………...…..22

ЛІТЕРАТУРА………………………………………………………………..….23

ДОДАТКИ……………………………………………………………………....24

Д.1. ВПЛИВ СОНЯЧНОЇ АКТИВНОСТІ НА ТВОРЧІСТЬ ОЛЕКСАНДРА ЯКОВИЧА ХІНЧИНА ………………………………..………………...…..–



ВСТУП

Поняття інтеграла пронизує всю сучасну математику. І не тільки це – в науках фізичного і технічного циклів знаходять застосування різні варіації інтеграла. Варто розкрити будь-яку книгу, що відноситься до точних наук, як зустрінеться знак інтеграла і пропозиції, включаючи слово «інтеграл». Більш того, останнім часом увійшли до ужитку такі терміни, як, наприклад, «інтегральна схема», «економічна інтеграція», які прямого відношення до інтеграла не мають, але смислове навантаження зберігають і знаходять широке розповсюдження в літературі і розмовній мові.

У скарбниці науки і культури є ідеї, які, виникнувши в глибокій старовині розвиваючись і удосконалюючись, пройшли черев все подальші часи і успішно служать людству зараз. До них безумовно слід віднести ідею інтеграла в математиці.

Початки інтегральних методів простежуються в працях Архімеда, що користувався ними при вирішенні багатьох геометричних завдань і доказі теорем. У книгах по історії математики відповідні розділи так і називаються - «Інтегральні методи Архімеда». І в цьому немає ніякого перебільшення, хоча відкриття інтегрального числення, час, коли вперше било вимовлено слово «інтеграл», відокремлюють від робіт Архімеда величезний часовий інтервал в 2000 років. Для переходу від методів Архімеда до алгоритму інтегрального числення, застосовного до обширного класу завдань, математика повинна була пройти довгий шлях, на якому була створена буквенна символіка, побудовано вчення про функціональні залежності, розроблений аналітичний апарат для їх виразу. На цьому шляху до робіт Архімеда зверталися двічі: на арабському середньовічному Сході і в Європі XVI-XVII ст. Але всі спроби значно просунутися вперед кінчалися невдачею. Лише створення буквеного числення Внетом і аналітичній геометрії Декартом і Ферма, а також успіхи фізичних наук Нового часу забезпечили можливість розробки аналізу нескінченно малих. Роль Архімеда в цьому процесі Лейбніц охарактеризував словами: «Уважно читаючи твори Архімеда, перестаєш дивуватися зі всіх новітніх досліджень геометрів».

Вдосконалення методів Архімеда і створення інтегрального числення, його розвиток здійснювалися в роботах Кеплера, Кавальері, Торрічеллі. Паскаля, Ферма, Валліса, Роберваля, Барроу, Ньютона, Лейбніца, братів Якоба і Іоганна Бернуллі (І. Бернуллі належить термін «інтегральне числення»; він перший прочитав, курс лекцій з інтегрального числення для маркіза Лоппіталя), Ейлера, Коші, Рімана.

І ще одна специфічна деталь. У певний період свого розвитку математика підійшла до такого рубежу, коли назріла необхідність вирішення насущних завдань, пов'язаних з фундаментальними відкриттями. Одними і тими ж завданнями займалися часто багато математиків, і встановити пріоритет, вказати, хто перший зробив те або інше відкриття, скрутно.

Тому об’єктом мого дослідження стала історія розвитку математичної науки, а предметом – історія розвитку поняття інтеграл.

Актуальність даної теми зумовлена тим, що тільки глибоке дослідження історичного розвитку теми уможливлює її найкраще осмислення, усвідомлення.

Метою роботи стало визначення основних періодів інтенсивного розвитку, визначення вчених, чий вклад у розвиток інтегрального числення приніс потужні результати, порівняння сонячної активності на творчу діяльність А.Я. Хінчіна.

Тому завданнями, відповідно стали:



  1. дослідження та аналіз джерел інформації;

  2. визначення вчених, які досліджували та розвивали цю сферу математики;

  3. визначення основних періодів розвитку поняття інтеграл;

  4. порівняння сонячної активності та творчої діяльності Хінчіна.

Ця робота може бути корисною для учнів старших класів при вивченні теми «Інтеграл», для студентів фізико-математичного факультету при вивченні курсу «Історія математики», «Історія сучасної математики», для викладачів ВНЗ.





  1. ЗАРОДЖЕННЯ ТА РОЗАИТОК ІДЕЇ

Інтегрування простежується ще в давньому Єгипті, приблизно в 1800 році до н. е., Московський математичний папірус демонструє знання формули об'єму зрізаної піраміди.




    1. Метод вичерпування




Евдокс Кнідський



Рис. 1

Першим відомим методом для розрахунку інтегралів є метод вичерпання Евдокса (приблизно 370 до н. э.), який намагався знайти площі і об'єми, розриваючи їх на нескінченну безліч частин, для яких площа або об'єм вже відомі. Цей метод був підхоплений і розвинений Архімедом, і використовувався для розрахунку площ парабол і наближеного розрахунку площі круга. Аналогічні методи були розроблені незалежно в Китаї в 3-м столітті н.е. Лю Хуейем, який використовував їх для знаходження площі круга. Цей метод був згодом використаний Дзю Чонгши для знаходження об'єму кулі.

Фундаментальний внесок Евдокса в математику складає метод вичерпання, що отримав таку назву в XVII ст. і застосовувався стародавніми при доказі теорем, пов'язаних з обчисленням площ, об'ємів і інших величин. Він вважається першим варіантом теорії меж.

У основі методу лежала лема: якщо і , – дві величини, підлеглі аксіомі Евдокса—Архимеда, і якщо відняти з більше її половини, із залишку більше його половини і продовжувати так необмежено, то після деякого кінцевого числа операцій вийде залишок . Це означає, що межа рівна 0.

Пояснимо застосування методу вичерпання. Припустимо, що необхідно обчислити площу деякої фігури, тобто знайти величину А. У цю фігуру вписувалися фігури, площі яких відомі і утворюють монотонну послідовність причому повинно бути



, , …, .

Тоді через основну лему при великому різниця може бути менше будь-якої величини . Далі відшукувалася границя послідовності , тобто таке число , що різниця ставала як завгодно малою. Завершувалося знаходження А доказом того, що А = В. Якщо скористатися сучасною термінологією елементарного аналізу, то доводилося, що з рівності , слідувало А = В.

Методом вичерпання математики старовини користувалися для строгого доказу істинності результатів, отриманих різними некоректними операціями з нескінченністю, граничними переходами. Евдокс методом вичерпання довів наступні теореми: площі кругів відносяться як квадрати діаметрів; об'єм піраміди рівний 1/3 об'єму призми, що має з пірамідою ті ж основу і висоту; об'єм конуса рівний І/3 об'єму циліндра, що має з конусом ті ж основу і висоту, Евклід до них додав ще теорему про те, що об'єми куль відносяться як куби діаметрів.

Архімед удосконалив Евдокса метод вичерпання і успішно користувався їм при доказі багатьох теорем. Тут і закладені початки інтегральних методів.

За допомогою методу вичерпання Архімед знайшов, наприклад, наступні найважливіші результати: площа сегменту параболи рівна 4/3 площі вписаного в нього трикутника; об'єм кулі рівний збільшеному учетверо об'єму конуса, у якого підставою служить великий круг кулі, а висотою його радіус; площа поверхні кулі рівна збільшеній учетверо площі великого круга. Архімед застосовував метод вичерпання не тільки для встановлення нових фактів, а і обгрунтування відомих раніше, але не доведених.

Далі Архімед повідомив, що він опублікує цей метод, бажаючи здійснити колишні згадки про нього і з метою допомогти сучасним і майбутнім математикам в нових відкриттях.



У «Эфодике» Архімед при обчисленні площі параболічного сегменту розглядав його і відповідний трикутник як «суми відрізків», а об'єми — як «суми площ» Він встановив об'єми кулі і кульового сегменту, еліпсоїда обертання, параболоїда обертання, центрів тяжіння фігур і тіл; розглянув завдання про знаходження об'єму «циліндрового копита» — тіла, отриманого при перетині циліндра площиною, що проходить через діаметр основи, і «монастирського зведення» — частини простору, що висікається двома рівними циліндрами, осі яких перпендикулярні. Об'єм «циліндрового копита» Архімед знаходив за допомогою принципу важеля, після чого проводив геометричний доказ.
1.2. Механічний метод Архімеда;


Архімед



Рис. 2

Пояснимо суть механічного методу Архімеда на прикладі як він обчислював площу параболічного сегменту. Архімед визначав площу сегменту з основою і висотою (мал. 3). Для простоти знайдемо площу, ув’язнену між дугою параболи , віссю л прямої . Це не буде значним відхиленням від міркування Архімеда. Розглянемо важіль довжини з точкою опори . На правому плечі важеля хай знаходитиметься фігура ; розіб'ємо її на вузькі смуги ширини . На малюнку така смужка розташована від початку координат на відстані х. Ордината буде , тому площа смужки приблизно рівна . Зрушимо цю смужку на кінець важеля, в точку G, і підрахуємо момент її щодо точки ; знайдемо . Зрівноважимо цю смужку смужкою площі , підвішеною до лівої частини важеля на відстані від точки О. Ординату MN отримаємо, якщо прирівняємо моменти смужок щодо крапки Це дасть: , .

Зробимо так з кожною смужкою і отримаємо на лівому плечі важеля ряд безперервно розподілених смужок по всій довжині його . Ординати їх пропорційні , тому кінці підвісків розташовуватимуться на прямій , при цьому .

Розміщені таким чином по плечу важеля смужки, складові трикутник OCD, зрівноважать зосереджену в точці G площа фігури OGB. Площа трикутника рівна ; його центр тяжіння знаходиться від вершини на відстані . Користуючись тим, що важіль знаходиться в рівновазі, прирівняємо моменти щодо точки площу трикутника і площі фігури , зосередженої в точці . Отримаємо , звідки . Оскільки ордината точки В рівна шукана площа буде .

Механічний метод Архімеда




Рис. 3

Отже, площа сегменту параболи складає 2/3 площі прямокутника ABGC, тобто 4/3 площі вписаного в сегмент трикутника, що і встановив Архімед.

Наведений приклад, очевидно, що не можуть залишити байдужими жодного цінителя витонченого в математиці. Але вони не містять ще початків інтегрального числення. Ці початки з'являються, коли Архімед вводить аналоги сум Дарбу.

Дуже важливим для становлення інтегрального числення було удосконалення Архімедом ідеї Демокріта про розбиття плоских фігур на елементарні полоски, що «заповнюють» фігури, і тіла на шари, що заповнюють їх. Таких елементарних частин могло бути нескінченна множина або скінченне число. Цими діями Архімед передував ідеям Кеплера і Кавальєрі у визначенні числових характеристик різних геометричних об'єктів. У Кавальєрі навіть деякі вирази співпадають з тими, які вживав Архімед: обидва говорили про всі лінії, що заповнюють плоску фігуру, і про всі плоскі перетини, що заповнюють об'єм.

Метод інтегральних сум розроблений Архімедом і застосований до обчислення площ і об'ємів в його творах «О шаре и цилиндре», «О коноидах и сфероидах», «О спиралях». У XIX книзі «О коноидах и сфероидах» він видозмінив лему Евдокса і цією формою користувався згодом: «Если дан сегмент какого-нибудь из коноидов, отсеченный перпендикулярной к оси плоскостью, или же сегмент какого-нибудь из сфероидов, не больший половины этого сфероида и точно так же отсеченный, то можно вписать в него телесную фигуру и описать около него другую, состоящую из имеющих равную высоту цилиндров, и притом так, чтобы описанная фигура была больше вписанной на величину, меньшую любой заданной телесной величины» [1, с. 195].

Отже, вперше ідею інтегрування ми знаходимо в працях Архімеда. Вона виникла з потреб практики і ніяк не була вільним творінням розуму.





  1. ВИНИКНЕННЯ ТА ОФОРМЛЕННЯ ІНТЕГРАЛУ

Тепер ми підійшли до вирішального етапу в побудові поняття інтеграл, розвитку всієї математики і наукового природознавства, етапу, пов'язаному з іменами Ньютона і Лейбніца.

Звичайно, не слід думати, що математичний аналіз створений двома людьми - Ньютоном і Лейбніцем. Це було б спрощенням. Розвиток математичного аналізу не починався і не завершився Ньютоном і Лейбніцем.

У XVII ст. велика група математиків займалася наступними основними завданнями: проведенням дотичної до кривої, що привело до виникнення диференціального числення, і обчисленням квадратури, що спричинило виникнення інтегрального числення. Заслуга Ньютона і Лейбніца полягала у відшуканні внутрішнього зв'язку між цими завданнями, синтез яких і був основою для створення могутнього знаряддя науки і наукового природознавства. Користування теоремою про взаємну оберненість операцій диференціювання і інтегрування і знання похідних багатьох функцій дали Ньютону можливість по флюксіях отримувати флюенти (функції), тобто інтегрувати. Якщо інтеграли безпосередньо не обчислювалися, Ньютон розкладав підінтегральну функцію в степеневий ряд і інтегрував його почленно. Введення такого прийому – заслуга Ньютона. Для розкладання функцій в ряди він найчастіше користувався відкритим ним розкладанням степеня бінома, діленням чисельника на знаменник, знаходження кореня.

У «Методе флюксий» Ньютон помістив дві таблиці невизначених інтегралів; у одній з них містяться інтеграли, що алгебраїчно виражаються в кінцевому вигляді, в іншій – інтеграли, що виражаються через відомі. У «Рассуждении о квадратуре кривых» Ньютон привів «Таблицю простих кривих, порівнянних з гіперболою і еліпсом», де вказав випадки інтегралів, раціональних відносно і (або що приводяться до них при ). Умови інтегровності диференціального бінома він повідомив Лейбніцу в листі 24 жовтня 1676 року, вказавши, що виражається

алгебраїчно, коли , або або – цілі невід’ємні числа.



Ісак Ньютон



Рис. 4

Спрямлення кривих Ньютон здійснював приведенням до квадратури. У «Анализе с помощью уравнений» він розглянув інтеграл , який, за його словами, «дає довжину еліпса». Це – перший випадок еліптичного інтеграла. Для обчислення його Ньютон розклав чисельник і знаменник в ряди, розділив чистильник на знаменник і проінтегрував ряд почленно. Це дало вираз еліптичного інтеграла у вигляді ряду

Ньютон широко користувався також прийомом звернення рядів, тобто отриманням з ряду для у по ступенях х ряду для х по ступенях у. З цією метою він застосовував метод невизначених коефіцієнтів і послідовних наближень. Ньютон застосовував свої методи до обчислення площ, до спрямлення кривих, кубатурам, обчисленню координат центрів тяжкості і чітко уявляв, що всі ці операції здійснюються по єдиному загальному принципу.

Необхідно відзначити, що ні у Ньютона, ні у Лейбніца не було формули:
, ,
званою зараз формулою Ньютона – Лейбніца. Але це правило вони знали. Ньютон писав: «...для отримання належного значення площі, прилеглої до деякої частини абсциси, цю площу завжди слід брати рівній різниці значень z, відповідних частинам абсцис, обмеженим початком і кінцем площі».

Готфрід Лейбніц



Рис. 5

Викликає інтерес розробка Лейбніцем символіки диференціального і інтегрального числень. Її можна прослідкувати по рукописах. Так, 26 жовтня 1675 року Лейбніц виражав квадратуру у дусі Паскаля словами omn. w (всі ординати); 29 жовтня відмітив, що зручніше писати замість omn. вираз (сума ліній, знак ∫ походить від першої букви слова summa), і вказав, що тут виникає новий рід числення. Інший рід числення з'являється, по словах Лейбніца, коли з виразу слідує . Знак ∫ збільшував число вимірювань, а d – зменшував (d – перша буква слова differentia – різниця). Вже в рукописі 11 жовтня символи x/d і y/d замінені на dx про dу.

Інтеграл Лейбніц розумів як суму нескінченного числа доданків – визначений інтеграл. У одному з рукописів є запис dx = х. Це означає, що взаємна оберненість дій диференціювання і інтегрування у Лейбніца виступали на оперативному рівні. Лейбніц замість слова «інтеграл» вживав «сума»; термін «інтеграл» ввів І. Бернуллі.

Восени 1675 року Лейбніц сформулював основні понятті диференціального і інтегрального числення. Він дав загальні правила вирішення завдань на квадратуру і дотичні, встановив зв'язок між завданнями диференціювання і інтегрування, ввів символіку обох операцій, що збереглася понині.

Дві роботи (1701 і 1703 рр.) Лейбніц присвятив інтегруванню раціональних дробів. Для інтегрування раціонального дробу він виділяв з неї цілу частину, після чого правильний раціональний дріб представляв у вигляді суми простіших. У зв’язку з інтегруванням раціональних дробів в аналіз увійшли комплексні числа і виникла суперечка про логарифми негативних чисел.

Відкриття Ньютона і Лейбніца зробило переворот в математиці. Якщо раніше вона була доступна лише вузькому кругу фахівців, які вирішували кожне окреме завдання придуманими ними методами, то після створення алгоритму диференціального і інтегрального числення, застосовного до широкого круга завдань, математика стала інструментом в руках людей, що займаються різними дослідженнями, але що не володіють достатньо глибокими математичними знаннями.

Після знаменного часу Ньютона і Лейбніца розвиток ідеї інтеграла пішов в двох напрямах: інтеграл, що трактувався як межа деякої суми, певний інтеграл, набував досконалих і всеосяжних форм, знаходив все більше і більше застосування при вирішенні задач самої математики, в якій він склався, механіки, фізики, проник в технічні науки і став інструментом, необхідним у всіх галузях природних наук; інтеграл як сімейство первісних, невизначений інтеграл, своїм розвитком викликав виникнення абсолютно нового розділу аналізу – методів інтегрування функцій, а це у свою чергу було зв'язано з появою функцій, не відомих раніше, – клас інтегрованих функцій весь час поповнювався; найважливіше застосування невизначеного інтеграла відноситься до інтегрування диференціальних рівнянь, складових могутнього апарату багатьох наук.






  1. Поділіться з Вашими друзьями:
  1   2   3


База даних захищена авторським правом ©divovo.in.ua 2017
звернутися до адміністрації

войти | регистрация
    Головна сторінка


загрузить материал