І. Історія виникнення теорії ймовірностей



Скачати 250.15 Kb.
Дата конвертації27.03.2017
Розмір250.15 Kb.
Вступ

І. 1. Історія виникнення теорії ймовірностей.

В історії теорії ймовірностей можна виділити наступні етапи.

1. Передісторія теорії ймовірностей. У цей період, початок якого губиться в далечіні століть, ставилися й примітивно вирішувалися елементарні задачі, які пізніше будуть віднесені до теорії ймовірностей. Ніяких спеціальних методів у цей період не виникає. Іде нагромадження матеріалу. Цей період кінчається в XVI в. роботами Кардано, Пачолі, Тарталья й ін.


Никколо Тарталья
тарталья.jpg http://www.abc-people.com/idea/zolotsech/pacioli.jpg http://www.univer.omsk.su/omsk/edu/math/kkardano.jpg


Джероламо Кардано

Лука Пачолі

2. Виникнення теорії ймовірностей як науки. У цей період виробляються перші специфічні поняття, такі, як математичне очікування. Установлюються перші теореми – теореми додавання й множення ймовірностей. Початок цього періоду пов'язане з іменами Паскаля, Ферма, Гюйгенса. Цей період триває від середини XVII в. до початку XVIII в. У цей час теорія ймовірностей знаходить свої перші застосування в демографії, страховій справі, в оцінці помилок спостереження.




Хрістіан Гюгенс
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a4/christiaan_huygens-painting.jpeg/220px-christiaan_huygens-painting.jpeg
Пьєр Ферма
http://i072.radikal.ru/1010/0a/c56f28b8b267.jpg
Блез Паскаль
http://roman-chuk.narod.ru/1/pascal.jpg


Абрахам де Муавр
3. Наступний період починається з появи роботи Я. Бернуллі «Мистецтво припущення» (1713 р.). Це перша робота, у якій була строго доведена гранична теорема - найпростіший випадок закону більших чисел. Теорема Бернуллі дала можливість широко застосовувати теорію ймовірностей до статистики. До цього періоду ставляться роботи Муавра, Лапласа, Гаусса, Пуассона й ін.; теорія ймовірностей починає застосовуватися в різних областях природознавства. Центральне місце в цьому періоді займають граничні теореми. абрахам де муавр.jpg


Пьер-Симон Лаплас

Якіб Бернуллі
http://www.fmclass.ru/pic/483845c6c7cd4/pic.jpg якіб бернуллі.jpg


Карл Фрідріх Гаус

Симеон Дені Пуасон
http://teorver.ru/wp-content/uploads/2008/05/468px-carl_friedrich_gauss.jpg http://www.univer.omsk.su/omsk/edu/math/ppuasson.jpg


Олександр Михайлович Ляпунов

Андрій Андрійович Марков

Пафнутій Львович Чебишев
4. Наступний період розвитку теорії ймовірностей зв'язаний, насамперед, з російською (Петербурзькою) школою. Тут можна назвати такі імена, як Чебишев П.Л., Марков А.А., Ляпунов А.М. У цей період поширення закону більших чисел і центральної граничної теореми на різні класи випадкових величин досягає своїх природних границь. Закони теорії ймовірностей стали застосовуватися до залежних випадкових величин. Все це дало можливість прикласти теорію ймовірностей до багатьом розділам природознавства, у першу чергу - до фізики. Виникає статистична фізика, що розвивається у взаємозв'язку з теорією ймовірностей. http://litopys.net/img/thisday/november/3/lyapunov.jpg http://litopys.net/img/thisday/julay/20-07/markov_a_a_.jpg http://img0.liveinternet.ru/images/attach/c/0/44/274/44274465_chebyshev.jpg


Сергій Натанович Бернштейн

Ріхард фон Мизес

Фелікс Едуард Жюстен Борель
5. Сучасний період розвитку теорії ймовірностей почався із установлення аксіоматики. Цього в першу чергу вимагала практика, тому що для успішного застосування теорії ймовірностей до фізики, біології й іншим галузям науки, а також до техніки й військової справи необхідно було уточнити й привести в струнку систему її основні поняття. Завдяки аксіоматиці теорія ймовірностей стала абстрактно-дедуктивною математичною дисципліною, тісно пов'язаної з теорією множин, а через неї-з іншими математичними дисциплінами. Це обумовило небувалу широту досліджень по теорії ймовірностей, починаючи від хазяйновито – прикладних питань і закінчуючи самими тонкими питаннями кібернетики. Перші роботи цього періоду пов'язані з іменами Бернштейна, Мизеса, Бореля. Остаточне встановлення аксіоматики відбулося в 30-ті роки XX ст., коли була опублікована, і одержала загальне визнання аксіоматик а А.Н. Колмогорова. бернштейн.jpg http://berkovich-zametki.com/2008/zametki/nomer10/berkovich_richard_von_mises.jpg http://greatpersons.ru/image.axd?picture=aadamar.jpg

колмогоров 2.jpg

Андрій Миколайович Колмогоров

В останній час намітилися нові підходи до основних понять теорії ймовірностей. Про це свідчить поява теорії надійності, теорії інформації, теорії масового обслуговування й т.п.

Ми ж розглянемо динаміку розвитку визначення поняття ймовірності; такого поняття в теорії ймовірностей, як математичне очікування, а також відомого закону великих чисел.

Простеживши розвиток цих понять від найпростіших уявлень до закінчених і обміркованих їхніх форм, ми зможемо глибше зрозуміти їхній зміст, що, безсумнівно, важливо з методичної точки зору.

Д. Кардано (1501–1576 р.) у своїй роботі «Книги про гру в кості» впритул підійшов до визначення поняття ймовірності через відношення рівно можливих подій [1].

«Отже, є одне загальне правило для розрахунку: необхідно врахувати загальне число можливих випадань і число способів, якими можуть з'явитися дані випадання, а потім знайти відношення останнього числа до числа можливостей, що залишилися, випадань; приблизно в такій же пропорції визначаються відносні розміри ставок для того, щоб гра йшла на рівних умовах».

Кардано в цьому уривку говорить, що якщо можливе число випробувань дорівнює n, а число сприятливих випробувань – m, те ставки повинні бути у відношенні (мова йде про поділ ставки, тому що вчених того часу дуже хвилювало це питання, багато хто з них намагалися вирішувати цю задачу).

У роботах Л. Пачоли, Н. Тарталья робиться спроба виділити нове поняття ймовірності – відношення шансів – при рішенні ряду специфічних задач, насамперед комбінаторних.

Треба відзначити, що поняттям ймовірності активно користувалися вчені того часу, не визначаючи його а розуміючи його інтуїтивно. Паскаль і Ферма в листах один одному використовували поняття ймовірності в схованій формі, не визначаючи його в конкретне визначення.

Гюйгенс (1629–1695 р.) у своїй книзі «Про розрахунки в азартних іграх» виділив поняття «шанс», що по суті, є ще не дуже усвідомлене поняття ймовірності [2]. У введенні Гюйгенс пише: «Хоча в іграх, заснованих на чистому випадку, результати є невідомими, однак шанс гравця на виграш, або на програш має певну вартість. Наприклад, якщо хто-небудь тримає парі, що він викине при першому киданні однієї кістки шість очок, те невідомо, чи виграє він або програє, але що є певним вирахуванням це те, наскільки його шанси програти парі перевершують його шанси на виграш парі».

Т. Байес (1702–1761 р.) у своїй роботі, опублікованої в «Філософських працях» за 1763 р. Р. Прайсом за назвою «Досвід рішення задачі по теорії ймовірностей покійного високоповажного містера Байеса, члена Королівського суспільства, повідомлено містером Прайсом у листах Джонові Кентону, магістрові мистецтв, члену Королівського суспільства» увів поряд з іншими визначеннями й визначення поняття ймовірності. Байес формулює наступні визначення.

1. Кілька подій є несумісними, якщо настання одного з них виключає настання інших.

2. Події, що виключають одина одну, якщо одна з них повинна наступити, але обоє одночасно наступити не можуть.

3. Говорять, що подія не відбулася, якщо вона не наступає або, якщо наступає подія, що її виключає.

4. Говорять, що подія визначена, якщо вона наступила або не наступила.

5. Ймовірність якої-небудь події є відношенням значення, що дається очікуванню, пов'язаному з настанням події, і значенням очікуваної в цьому випадку прибутку.

6. Під шансом я розумію те ж саме, що й під Ймовірністю.

7. Події є незалежними, якщо настання одного не зменшує й не збільшує ймовірності інших [1,2].

Деякі із цих визначень, наприклад 1 і 7, майже повністю збігаються із сучасними. Визначення ж імовірності не відрізняється ясністю, можливо тому, що у формулюванні використовується невизначене поняття: «значення очікування, пов'язаного з настанням події».

Кондорсе (1743–1794 р.), відомий політичний і суспільний діяч буржуазної французької революції, займався питаннями теорії ймовірностей. У своїй роботі «Suite du Memoire sur le calcul des Probabilites» Кондорсе намагався поряд з імовірністю ввести поняття «властиво ймовірність» [1,2].

«Не слід розуміти під властиво ймовірністю події відношення числа сполучень, що мають місце, до загального числа сполучень. Наприклад, якщо з 10 карт витягаться одна карта й свідок говорить, що це була саме така карта, то властиво ймовірність цієї події, яку потрібно зіставити з ймовірністю, що народжується зі свідчення, що буде , а є ймовірність дістати цю карту переважно, чим іншу яку-небудь певну карту, і тому що всі ці ймовірності однакові, то властиво ймовірність буде в цьому випадку

У випадку, коли витягаться одна з десяти карт, число сполучень, при яких витягається яка-небудь певна карта, є одиниця й число сполучень, при яких буде витягнута яка-небудь інша певна карта, теж є одиниця, виходить, властиво ймовірність виразиться – »

Поняття властиво ймовірності необґрунтовано. Його протиставлення поняттю ймовірності чисто суб'єктивне й математично нічим не підтверджено. Можливо саме тому в науці воно не збереглося.

До XVIII в. поняття ймовірності вже дуже активно використовувалося при розв’язуванні різних задач.

Л. Ейлер (1707–1783 р.), досліджуючи різні лотереї, які пропонували Прусському королю Фрідріху II для поповнення скарбниці держави, користувався саме класичним визначенням імовірності.

І.2. Поява класичного означення поняття ймовірності

П. Лаплас (1749–1827 р.) у своїх лекціях за назвою «Досвід філософії теорії ймовірностей» уводив наступне класичне визначення ймовірності: ймовірність P(A) події A рівняється відношенню числа можливих результатів випробування, які сприяють події A, до числа всіх можливих результатів випробування. У цьому визначенні передбачається, що окремі можливі результати випробування рівно можливі [1,2].

Цьому визначенню ймовірності Лаплас додав суб'єктивний зміст, увівши принцип недостатності або відсутності підстав. Цей принцип полягає в тому, що якщо ймовірність події невідома, то ми для її значення призначаємо деяке число, що нам представляється розумним. У випадку, якщо ми маємо кілька подій, які становлять повну систему, але не знаємо ймовірності кожної події окремо, то ми вважаємо, що всі ці події рівно можливі.

Магістр філософії Сигізмунд (Зигизмунт) Ревковський (1807–1893 р.) в 1829/30 р. уперше в Росії став читати курс теорії ймовірностей. Ймовірність він називав мірою надії, величиною надії й давав їй класичне визначення.

Н.И. Лобачевский серйозно займався теорією ймовірностей. У своїй роботі «Нові початки геометрії з повною теорією паралельних» він визначає ймовірність, випливаючи Лапласові: «під словами ймовірність розуміють зміст числа добрих нагод до числа всіх випадків разом». Рівно можливість випадків, мабуть, малася на увазі Лобачевским.

Професор математики Московського університету Зернов Н.Е. (1804–1862) у своїй мові «Теорія ймовірностей, з додатком переважно до смертності й страхування», що була видана в 1843 р., увів визначення ймовірності і цікаве визначення поняття відносної ймовірності.

«Імовірність подій, розглянутих у такому виді, начебто інші події зовсім не мали місця, називається ймовірністю відносного. Відносна ймовірність якої-небудь події дорівнює частці, що пішла від ділення самостійної ймовірності тієї ж події на суму цієї останньої ймовірності й протилежної їй, також самостійної».

Це визначення супроводжується прикладом. У посудині є 3 червоних, 1 чорна, 2 білих кулі. Ймовірність витягнути червону кулю



– це всі ймовірності самостійні. Тримають парі щодо появи білої або чорної кулі, не звертаючи уваги на червоні. Ймовірність виграти парі на білій кулі – , на чорному – .

І.3. Теорія ймовірність математичне очікування

Великим представником російської теорії ймовірностей був М.В. Остроградський. У своїй статті «Про страхування», опублікованої в журналі «Фінський вісник» в 1847 р., Остроградьский трактує поняття ймовірності із суб'єктивних позицій, як міру впевненості суб'єкта, що пізнає, [1].

Він докладно говорить про те, що ймовірність є міра нашого незнання, що це суб'єктивне поняття, що в ймовірності в суб'єктивному світі немає ніякої відповідності, що увесь світ детерминистичен і випадкового в ньому ні, є тільки те, що ми не знаємо або не пізнали, що ми й називаємо випадковим.остроградський.jpg

«Якщо явище зовсім залежить від декількох інших явищ або випадків, з яких одні можуть його зробити, інші йому протилежні, і якщо притім всі ці випадки такі, що для нас, ми повторюємо, немає причини одній з них переважати іншу, то ймовірність очікуваного явища виміряється дробом, який чисельник дорівнює числу випадків, що доставляють явище, – а знаменник числу всіх випадків». Це твердження збігається з так званим класичним визначенням Лапласа із тлумаченням рівної можливості, як недостатності підстав давати перевагу одним подіям перед іншими. Розглядається приклад. В урні перебуває 5 куль (3 білих і 2 чорних), з неї витягують одну кулю. Яка ймовірність того, що ця куля буде білою? Щодо цього прикладу Остроградський пише: «П'ять куль перебувають у вазі; немає ніякої причини думати, що одина з них потрапить у руку скоріше, від іншої. Говорячи, немає ніякої причини, розуміємо, що її немає для нас, – вона є, але зовсім нам невідома.… І як ми не можемо дати одній кулі перевага перед іншим, те всі кулі представляють для нас випадки рівно можливі. Той, хто знав би розташування куль в урні й міг би обчислити рух руки, що виймає, той сказав би наперед, яка саме вийде куля, - для нього не було б ймовірності.

Якби для нас, справді, не було причин вийняти таку-то куля, а не іншу, тоді поява кулі була б дійсно неможливою, як неможлива дія без причини.

Ми повторюємо, що ймовірність і однакова можливість випадків, і міра ймовірності існують тільки для нас. Для істот же всевідаючих, тобто відомості, що має всі, про всі явища, ймовірність не може мати не тільки міри, але й ніякого значення.

Це висловлення є типовим висловленням у дусі механічного детермінізму, що був у той час широко розповсюджений у теорії ймовірностей.

І. 4. Заради чого необхідно викладати теорію ймовірностей?

На перший погляд здається, що точну відповідь на це питання можна дати лише в тому випадку, якщо відомо, в якій формі і на якому рівні здійснюється викладання теорії ймовірностей. Тим паче, деякі загальні твердження на цю тему можливо висловити без яких би там не було уточнюючих припущень. Мається на увазі головні цілі викладання теорії ймовірностей. Саме їх, на мою думку, повинен ставити перед собою кожний, хто викладає будь-який розділ теорії ймовірностей, хоча наголоси, зрозуміло, можуть варіюватися залежно від типу навчального закладу. Отже, я вважаю, що при виборі головних цілей будь-якого курсу теорії ймовірностей належить керуватися такими мотивами:

A) Теорію ймовірностей необхідно викладати тому, що вона відіграє важливу роль у розвитку мислення учнів.

Б) Теорію ймовірностей необхідно викладати тому, що її висновки знаходять застосування у повсякденному житті, науці, техніці тощо.

B) Теорію ймовірностей необхідно викладати тому, що вона має важливе, ні з чим незрівнянне значення для математичної освіти.

Прокоментуємо коротко ці аргументи.

А) Ознайомлення з основними поняттями теорії ймовірностей необхідне для того, щоб ми могли пізнавати оточуючий світ і створювати одну з науково обгрунтованих картин цього світу. Викладання будь-якого розділу математики благодатно позначається на розумовому розвитку учнів, оскільки прищеплює їм навички ясного логічного мислення, що оперує чітко визначеними поняттями. Все сказане про викладання будь-якого розділу математики в повному обсязі стосується і викладання теорії ймовірностей, але навчання «законам випадку» грає дещо більшу роль і виходить за межі звичайного. Слухаючи курс теорії ймовірностей, учень пізнає, як застосовувати прийоми логічного мислення в тих випадках, коли необхідно мати справу з невизначеністю (а такі випадки виникають на практиці).

Вивчення теорії ймовірностей належним чином впливає і на характер учнів, наприклад, розвиває хоробрість, оскільки дає змогу зрозуміти, що при певних обставинах невдачі можна віднести до випадковостей і, отже, зазнавши невдачі, зовсім не варто відмовлятися від боротьби за досягнення поставленої мети. Люди, що знаходяться на низькому рівні розвитку, схильні до надмірної недовірливості: яка би біда не трапилась з ними, вони схильні приписувати її чиємусь злому наміру, навіть якщо подібні твердження позбавлені найменших підстав. Пояснюється це необізнаністю з таким поняттям, як випадковість. Викладання теорії ймовірностей може принести безперечну користь, оскільки дозволяє остаточно порвати з пережитками магічного мислення кам'яного століття. Вивчаючи теорію ймовірностей, люди стають більш доброзичливими і толерантними до оточуючих, і, отже, легше вписуються в життя суспільства.

Б) У повсякденному житті нам постійно доводиться зустрічатися з випадковістю, і теорія ймовірностей вчить нас, як діяти раціонально з урахуванням ризику, пов'язаного з прийняттям окремих рішень. Гарним прикладом застосування теорії ймовірностей у повсякденному житті може слугувати вибір найбільш доцільної форми страхування. При плануванні сімейного бюджету або подорожі за кордон часто доводиться оцінювати витрати, які, у певній мірі, мають випадковий характер. Ці приклади показують, що ознайомлення на тому чи іншому рівні із законами випадку необхідні кожному.

Застосування теорії ймовірностей у науці, техніці, економіці тощо набуває раз у раз зростаючого значення. Саме тому у все більшого числа людей в процесі роботи виникає необхідність у вивченні теорії ймовірностей. Зрозуміло, обсяг курсу теорії ймовірностей залежить від типу навчального закладу. Але не треба забувати й про інше: сучасна освічена людина, незалежно від професії і роду діяльності, повинна мати принаймні загальне уявлення про те, що таке атомна енергія, радіоактивність, генетика і т. ін. Перелік необхідних знань включає в себе і ознайомлення, нехай навіть суто поверхове, з найпростішими поняттями теорії ймовірностей. Нині, коли прогноз погоди містить повідомлення про ймовірність дощу завтра, кожен повинен знати, що власне це означає.

В) Вивчення теорії ймовірностей сприяє кращому розумінню взаємозв'язків між дійсністю і математикою, математичних моделей дійсності. Якщо в курсі математики теорія ймовірностей обминається повною мовчанкою, то в учнів складається невірне уявлення про істинний характер математики та її застосування. Люди, не знайомі з теорією ймовірностей, поділяють помилкову думку, нібито математичні методи можна застосовувати лише в тих випадках, коли йдеться про прості й точні залежності між величинами, які можна точно виміряти і обчислити. Нерідко можна почути і твердження, наче математичні методи непридатні для вивчення і опису тих або інших явищ, через те що ті «дуже складні». Подібний забобон живе в свідомості людей, які не вивчали ні математику, ні, тим паче, теорію ймовірностей. Саме ті, хто дотримується цих докорінно невірних поглядів, до недавнього часу перешкоджали (принаймні, у деяких країнах) застосуванню математичних методів в економіці, соціології, біології, психології та інших галузях науки. Не можна не згадати й про думку тих, хто вважає, що викладання теорії ймовірностей не виходить за межі програм з математики в учбових закладах середнього або нижчого рівня. Ця думка узгоджується з іншими сучасними тенденціями у викладанні математики, що легко пояснити: її поділяють ті, хто викладає теорію ймовірностей і своєю діяльністю реалізує нові тенденції. Цілком очевидно, що викладання теорії ймовірностей спрощується, якщо учні заздалегідь ознайомлені з теорією множин. З іншого боку, вивчення теорії ймовірностей дає чудову нагоду для більш ґрунтовного і глибокого ознайомлення як з теорією множин.

1. 5. Експериментальна комбінаторика для молодших школярів

Не маючи ймовірнісних понять, діти мають деформовану уяву про математику, вважаючи, що між «істинним» та «хибним» більше нічого немає! Але ж пізніше вони обов'язково виявляють існування цілої області математики, яка базується на понятті «Може бути!». Саме тут математика торкається повсякденного життя набагато тісніше, ніж цьому традиційно вчать у школі, і саме тому більшість фахівців у галузі шкільної математики вважають необхідним введення до шкільного курсу елементів теорії ймовірностей та математичної статистики. Звичайно, це питання досить складне і не може бути вирішене одностайно та миттєво, адже ймовірність — розділ вищої математики і доступність її для школярів — питання сумнівне. Тут слід звернутися до світового досвіду, і неможливе стане ймовірним! Все, що необхідно зробити — це майстерно пов'язати теорію ймовірності зі світом дитини... Насправді, зробити це неважко, адже навкруги нас легко знайти безліч ситуацій, які можуть послужити поштовхом до глибоких міркувань, досліджень, висновків. Мета вчителя — використати ці ситуації для навчання, і, зрозумівши необхідність та можливість вивчення ймовірності, продумати кожен крок цього шляху.

У багатьох країнах світу знайомство з теорією ймовірностей починають з вивчення комбінаторики. Комбінаторика — важливий інструмент для підготовки до формування ймовірнісного мислення учня. Раніше її розглядали як ще один гальмуючий фактор у вивченні ймовірностей, але останній досвід, набутий в різних країнах світу, показав, що комбінаторику можна ввести навіть до початкового етапу навчання. Вона не потребує ніяких попередніх знань і може бути легко пов'язана з цікавими заняттями.

Перше знайомство з комбінаторикою буває для учнів досить складним та неприродним, якщо воно починається з введення одночасно багатьох далеко не елементарних понять і визначень, базується на теорії множин, розуміння якої традиційно складне навіть для старшокласників.

Але це знайомство може відбуватися набагато раніше, ніж у 10 — 11 класі і більш природнішим шляхом. Важливо максимально поєднати принципи доступності та науковості у вивченні такого напрочуд цікавого та розвиваючого розділу математики, як комбінаторика.

Узагальнюючи досвід навчання з предмета, я пропоную розбити вивчення комбінаторики на етапи.



I етап: експеримент — дослідження та узагальнення отриманих результатів. Побудова та визначення різних комбінаторних моделей відповідно до змісту задачі.

II етап: розв'язання найпростіших задач дедуктивним методом. Вивчення принципів додавання та множення. Означення основних понять комбінаторики.

III етап: вивчення основних формул комбінаторики та застосування їх до розв'язання задач різних рівнів складності.

Слід зазначити, що третій етап такої схеми є традиційним для вивчення у факультативних курсах та в старших класах спеціалізованих профільних шкіл. Він забезпечений досить багатим дидактичним, методичним та теоретичним матеріалом. На жаль, про перший та другий етапи вивчення комбінаторики такого сказати не можна, тому докладніше спинимося саме на них.

Почнемо з першого, експериментально-дослідницького, етапу.

В зв'язку з можливістю експерименту комбінаторика займає, безумовно, привілейоване становище в математичній освіті. Але для того, щоб дати поштовх дитині до певних ідей, потрібні специфічні засоби. По-перше, необхідно добрати цікаві задачі експериментального характеру; по-друге, ввести елемент змагання. Перші заняття повинні бути живими і збуджувати природну цікавість дитини, не відриваючи її від дійсності.

Комбінаторна задача на першому етапі, як правило, полягає в тому, щоб з'ясувати:

1) існують чи не існують деякі множини з заданими властивостями;

2) об'єднати їх у відповідні класи та перерахувати.

Учні завжди можуть почати таке дослідження з експериментів, а, проводячи самостійні численні досліди, дитина поступово приходить до відкриття багатьох понять, причому попередніх знань це не потребує. Для експериментів можна використовувати об'єкти з життя: самих учнів, 'їхні прилади, спеціально підготовлені технічні засоби.

Вивчення комбінаторних задач доцільно розпочинати з введення загального поняття комбінаторної моделі. На цьому етапі, звичайно, слід уникати означень та формулювань; дітям досить зрозуміти, що модель — це «переклад» задачі з літературної мови на мову комбінаторних понять.

Метою вчителя є ознайомити учнів з тим, що комбінаторні моделі розрізняються за такими типами :

1. Розміщення без повторень (зокрема перестановки).

2. Розміщення з повтореннями.

3. Комбінації (сполучення) без повторень.

4. Комбінації з повтореннями.

Моделі можна наповнити життям, конкретизувавши їх. Для цього можна використати фішки, жетони, бусинки, букви алфавіту, цифри, різнокольорові малюнки, точки, тощо.

Розглянемо дослід 1.

Задача: побудувати якомога більше послідовностей (наборів) трьох точок, використовуючи три кольори: червоний, жовтий, синій. Додаткова умова: в кожній послідовності повинно бути використано

1) всі три кольори;

2) не всі три кольори;

3) лише один колір;

4) не більше двох кольорів;

5) всі три кольори, але починаючи з червоного;

6) не обов'язково всі кольори, але другий жовтий; і т.д.

Проводити цей дослід пропонується у вигляді командної гри. Для нанесення точок можна використовувати спеціальні невеликі дошки, або аркуші паперу. Виграє та команда, яка побудує найбільшу кількість послідовностей, задовільняючих умові (а краще — всі), швидше за інших. Результат бажано записувати на дошці і зберігати до кінця гри.

Мета проведення досліду:

1. Організувати систематичний пошук елементів певної моделі.

2. Спробувати знайти всі елементи моделі.

3. Навчитися групувати елементи загальної моделі за певними характеристиками.

4. Перше знайомство з поняттям «відношення порядку».

5. Спробувати визначити тип кожної моделі.

6. Проаналізувати результат експерименту, порівнюючи кількість побудованих послідовностей для кожної моделі та спробувати зробити висновки.

Наступним кроком у навчанні може стати дослід 2.

Задача: скласти всі можливі послідовності з жетонів трьох кольорів за таких умов:

Використано три жетони

Порядок кольорів враховуємо

Кольори можуть повторюватись

Використано два жетони

Порядок кольорів не враховуємо

Кольори не можуть повторюватись

Ця загальна схема дає можливість сформулювати вісім задач різних типів.

Мета проведення досліду:

1. Навчитися чітко визначати тип моделі за умовою задачі.

2. Навчитися визначати всю множину розв'язків задачі.

3. Порівняти результати (кількість послідовностей) для кожної моделі та зробити висновки. Якій моделі відповідає найбільша кількість послідовностей? Чому?

На цьому етапі вже можна ввести поняття комбінації елементів, замінюючи ним поняття «послідовність» або «набір» та «кількість комбінацій». Дуже швидко перерахування кількості можливих комбінацій стане задачею більш важливою, ніж ефективна побудова самих комбінацій.

Іншим типом експерименту є гра з фішками двох кольорів.

Дослід 3.

Задача: побудувати послідовність (комбінацію) з чотирьох фішок, якщо маємо:

1) дві сині та дві червоні;

2) три сині та дві червоні;

3) три червоні та дві сині; і таке інше.

Організація експерименту.

Діти будують послідовності по черзі. В кінці кожного варіанту гри доцільно підрахувати всі побудовані комбінації, проаналізувати тип отриманої моделі. (Від того, як оформити гру, суттєво залежить можливість включення в неї різного роду стимулів. У такій грі прагнення до виграшу породжує прагнення до систематизації).

Можна також будувати послідовності жетонів або фішок за допомогою жеребкування: діти навмання витягають набір жетонів з ящика, потім вони повинні вирішити, чи складають ці жетони нову послідовність.

Мета досліду.

1. Створити характерну модель комбінацій з повторенням.

2. Систематизувати пошук нових комбінацій.

3. Спробувати зробити узагальнюючий висновок про кількість комбінацій в кожному випадку.

Провівши ці та аналогічні досліди, учні зможуть:

- зрозуміти деякий набір правил та визначити, чи відповідає йому задана комбінація;

- розрізняти, чи є комбінація новою, чи повторює стару;

- виявити всі комбінації, які відповідають правилу (умові задачі);

- намагатися зрозуміти, чому на цій стадії неможливо знайти нову комбінацію.

Найбільш складною та цікавою для учнів на дослідницькому етапі є так звана «відкрита ситуація»:



Дослід 4.

Задача: з набору різнокольорових жетонів (наприклад, один синій, два жовтих, три білих) вибрати пару. Скількома способами це можна зробити?

Зауваження. В залежності від обраних правил, відповіддю може бути будь-яке з чисел: 2, 3, 4, 5, 6, 8, 11, 15, 22, 26.

Організувати проведення експерименту можна в такий спосіб: одна команда формулює нову задачу, друга — шукає її розв'язок. Можна також створювати умову задачі за відомим результатом, попередньо проаналізувавши ситуації (в якому випадку буде більше комбінацій? а коли менше? якому типу відповідає кожна задача?). Базуючись на загальній моделі, можна скласти велику кількість цікавих завдань, залучивши фантазію учнів та вчителя.

Мета досліду.

1. Активізувати та узагальнити набуті раніше знання учнів.

2. Закріпити вміння встановлювати тип комбінаторної задачі та розв'язувати її.

3. Змінити акцент у розв'язуванні комбінаторних задач в бік пошуку кількості комбінацій.

4. Зробити узагальнюючі висновки про структуру кількості комбінацій для різних типів задач (моделей).

Аналогічні досліди можна проводити, використовуючи букви алфавіту, цифри, олівці, навіть самих учнів, розділяючи їх на групи за певними ознаками.

Проведений таким чином перший етап дасть учням, крім набутих базових знань та значного розширення математичного світогляду, відчуття «приємного знайомства» з комбінаторикою, як частиною суттєво нового розділу математики.

І. 6. Методика викладання теорії ймовірностей

Незважаючи на те, що теорія ймовірностей та комбінаторика включені до шкільних програм, дискусійним залишається питання змісту цих розділів та методики їх викладання.

Головною метою розділу «Елементарна теорія ймовірностей» має бути часткова ліквідація «стохастичної безграмотності», що передбачає:

• сформувати розуміння детермінованості й випадковості;

• ознайомити учнів з основними поняттями та ідеями цього розділу математики, показати його логічну будову, сформувати цілісне уявлення про нього;

• простежити історичний розвиток теорії ймовірностей;

• допомогти усвідомити, що багато законів природи й суспільства носять ймовірнісний характер, що багато реальних явищ і процесів можна добре описати ймовірнісними моделями;

• переконати, що теорія ймовірностей має важливе значення для математичної освіти.

Але досягти цього можна лише базуючись на вивченні певного навчального матеріалу. Тому наступне запитання, на яке необхідно дати відповідь, стосується змісту розділу «Елементарна теорія ймвірнотсей”.

Досвід показує, що при першому ознайомленні з основними поняттями теорії ймовірностей необхідно уникнути двох крайностей: не можна викладати теорію ймовірностей як абстрактну систему, яка відірвана від реальної дійсності, і не можна подавати теорію ймовірностей як систему готових правил, у які залишається лише підставити числові дані.

Узагалі, при відборі матеріалу для первинного ознайомлення з предметом або розділом, крім урахування загальноосвітньої значимості, прикладної цінності та можливості формувати правильне світорозуміння, слід дотримуватися основних принципів навчання, зокрема:

1. Принципу концентризму, який вимагає, щоб при першому ознайомленні з предметом або розділом той, хто навчається, отримав про нього нехай і не повне, але всебічне й цілісне уявлення.

2. Принципу науковості, згідно з яким розглядуваному матеріалу необхідно дати таке трактування, яке в подальшому можна розвинути, узагальнити й отримати сучасний виклад.

3. Принципу доведення викладання до корисних результатів. Згідно з цим принципом не варто вивчати теорію ймовірностей, якщо це вивчення обмежене самими простими комбінаторними задачами і не дійде до найпростішої форми закону великих чисел.

4. Принципу доступності. При першому ознайомленості з основними поняттями теорії ймовірностей спочатку необхідно розглянути дискретний випадок.

Тож при першому ознайомленні з основними поняттями теорії ймовірностей необхідно передбачити розумне поєднання життєвого досвіду, строгості й доступності.



На наш погляд, при вивченні елементарної теорії ймовірностей доцільно починати вивчати і випадкові величини, ознайомитися з розподілом таких величин та з їхніми числовими характеристиками.

Завершити вивчення розділу «Елементарна теорія ймовірностей» необхідно нерівністю Чебишева та найпростішою формою закону великих чисел (теоремою Бернуллі).

Поділіться з Вашими друзьями:


База даних захищена авторським правом ©divovo.in.ua 2017
звернутися до адміністрації

войти | регистрация
    Головна сторінка


загрузить материал