Частина ІI



Сторінка2/28
Дата конвертації23.12.2016
Розмір1.82 Mb.
ТипИсследование
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   28

ФІЗИКО-МАТЕМАТИЧНІ НАУКИ




Андреев А.Ф.,


Доктор физ.-мат.наук, профессор кафедры Дифференциальных уравнений Санкт-Петербургского государственного университета,

Андреева И.А.


Кандидат физ.-мат.наук, доцент кафедры Высшая математика Санкт-Петербургского государственного Политехнического университета.

ФАЗОВЫЕ ПОРТРЕТЫ В КРУГЕ ПУАНКАРЕ (2,1) – СЕМЕЙСТВА 1-ГО КЛАССА КУБИЧЕСКИХ СИСТЕМ.


Ключевые слова. Динамическая система, фазовый портрет, круг Пуанкаре, особые точки, траектории.

Изучается поведение в круге Пуанкаре траекторий динамических систем



= X(x, y), = Y (x, y), (0.1)

где X (x, y), Y (x, y) – взаимно простые формы от x и y, X – кубическая, Y – квадратичная, X (0, 1) > 0, Y (0, 1) > 0. Ставится задача: построить все различные фазовые портреты (ФП) (0.1) – систем в круге Пуанкаре (см., например, , стр. 241 – 249), и указать критерии их реализации.

Семейство систем (0.1) разбивается на (m, n) – семейства, m n . Фиксированное (m, n) – семейство есть совокупность всех (0.1) – систем, каждая из которых имеет m изоклин бесконечности и n изоклин нуля. Поставленная задача решается поочерёдно для каждого из (m, n) – семейств.

В работах [6], [7,8], [9], [10] она решена соответственно для (3,2) – семейства, (2,2) – семейств 1 и 2 классов, (3,1) – семейства и (2,1) – семейства 2-го класса. В настоящей работе она решается для (2,1) –семейства 1-го класса, т.е. для семейства (0.1) - систем вида



, =

где , .

Процесс решения состоит из следующих шагов.

0. Для произвольной – системы вводятся следующие понятия и обозначения.



(u)

ПКPQ возрастающая последовательность всех вещественных корней ее полиномов





- семейство – системсовокупность всех – систем, имеющих ПКPQ =

топодинамический тип (ТД-тип) особой точки системы;

сепаратриса её особой точки.


  1. Поочередно изучаются - семейства – систем, r=

r – семейство разбивается на – семейства, s = Для произвольной системы перечисляются её особые точки, ищутся ТД-типы и сепаратрисы последних.

  1. s {1, …, 7} изучается поведение каждой сепаратрисы – систем в круге Ω, выясняются варианты взаимного расположения всех их сепаратрис в этом круге.

  2. Строятся все различные ФП – систем.

Итог этой работы: любого их – семейства, r имеют 7 различных ФП, а число всех различных ФП - систем равно 21.

Эти результаты до сих пор нигде не публиковались.



Литература.

1. Андронов А.А., Леонтович Е.А., Гордон И.И., Майер А.Г. Качественная теория динамических систем второго порядка.- Москва: Наука, 1966.- 586 с.

2. Андреев А.Ф., Андреева И.А. Фазовые потоки одного семейства кубических систем в круге Пуанкаре.I. Дифференциальные уравнения и процессы управления. [Электронный журнал].2007. № 4. С. 17-26. Http//www.math.spbu.ru/user/diffjournal.

3. Андреев А.Ф., Андреева И.А. Фазовые потоки одного семейства кубических систем в круге Пуанкаре.II. Дифференциальные уравнения и процессы управления. [Электронный журнал]. 2008. № 1. С. 1-13. Http//www.math.spbu.ru/user/diffjournal.

4. Андреев А.Ф., Андреева И.А. Фазовые потоки одного семейства кубических систем в круге Пуанкаре.III. Дифференциальные уравнения и процессы управления. [Электронный журнал]. 2008. № 3. С. 39-54. Http//www.math.spbu.ru/user/diffjournal.

5. Андреев А.Ф., Андреева И.А. Фазовые потоки одного семейства кубических систем в круге Пуанкаре.. Дифференциальные уравнения и процессы управления. [Электронный журнал]. 2009. № 81-213. Http//www.math.spbu.ru/user/diffjournal.

6. Андреев А.Ф., Андреева И.А. Фазовые портреты одного семейства кубических систем в круге Пуанкаре.[Text]. Развитие науки в век информационных технологий. Часть 2. Международная конференция. г.Киев, 28 сентября 2013 г. Центр научных публикаций.- с 5-7.

7. Андреев А.Ф., Андреева И.А. Фазовые портреты одного нового семейства кубических систем в круге Пуанкаре. Тезисы. [Text]: Materials of the II International Research and Practice Conf., Westwood, Canada, Oct. 16, 2013./-C.Westwood, Can., 2013, р. 327 – 329.

8. Андреев А.Ф., Андреева И.А. Фазовые портреты еще одного нового семейства кубических систем в круге Пуанкаре. Тезисы.[Text]: Materials of the IV International Conference “Science and Education”, Munich, Germany, 30.10.2013, p. 11 – 13.



Поділіться з Вашими друзьями:
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   28


База даних захищена авторським правом ©divovo.in.ua 2017
звернутися до адміністрації

войти | регистрация
    Головна сторінка


загрузить материал